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Per quanto ho capito, il programma di teoria della complessità geometrica tenta di separare dimostrando che il permamento di una matrice a valore complesso è molto più difficile da calcolare rispetto al determinante.$VP \neq VNP$

La domanda che ho posto dopo aver sfogliato i GCT Papers: ciò implicherebbe immediatamente , o è semplicemente un passo importante verso questo obiettivo?$P \neq NP$

La risposta breve è "no". Nessuna tale implicazione è nota. Esistono due ostacoli principali: passare dalla complessità del circuito aritmetico alla complessità booleana (VP ≠ VNP implica P / poli ≠ NP / poli) e quindi passare dalla complessità del circuito booleano (P / poli ≠ NP / poli) alla complessità uniforme (P ≠ NP ). Nessuno di questi passaggi è noto. Credo che P / poly ≠ NP / poly implichi VP ≠ VNP, tuttavia.

Supponendo l'ipotesi generalizzata di Riemann (GRH), sono note le seguenti connessioni piuttosto forti tra e il crollo della gerarchia polinomiale ( P H ):$VP= VNP$${\rm PH}$

1. Se $VP= VNP\,$ (su qualsiasi campo) la gerarchia polinomiale crolla al secondo livello;
2. Se $VP=VNP\,$sopra un campo della caratteristica , quindi N C 3 / p o l y = P / p o l y = P H / p o l $0$$\rm{NC}^3/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$ ;
3. Se $VP=VNP\,$sopra un campo di caratteristica finita , quindi N C 2 / p o l y = P / p o l y = P H / p o l y .$p$$\rm{NC}^2/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$

Questi sono i risultati di: Peter Burgisser, " L'ipotesi di Cook contro Valiant ", Theor. Comp. Sci., 235: 71–88, 2000.

Vedi anche: Burgisser, " Completezza e riduzione nella teoria della complessità algebrica ", 1998.

Posso darti un motivo informale per cui la separazione non proverebbe .$P \ne NP$

VP e VNP si concentrano su funzioni algebriche il cui grado è limitato da un polinomio. Si noti che è facile calcolare in una funzione algebrica di grado esponenziale con un circuito algebrico di dimensioni polinomiali.

Esiste una riduzione della profondità ben nota 1 per i circuiti algebrici: qualsiasi circuito algebrico di dimensioni polinomiali che calcola un polinomio di grado può essere trasformato in un circuito algebrico di dimensioni e profondità polinomiali O ( log d log n ) .$d$$O(\log d \log n)$

Si può pensare di come variante algebrica di N C 2 , dimostrando così che V P ≠ V N P ammonta a dimostrare un equivalente algebrico non uniforme N C 2 ≠ # P . Ciò non escluderebbe P = N P , almeno non immediatamente.$VP$$NC^2$$VP \ne VNP$$NC^2 \ne \# P$$P = NP$

Disclaimer : non riesco ad accedere al documento in questo momento e non ricordo se la riduzione funziona in qualsiasi campo o solo in quelli finiti.

1 LG Valiant, S. Skyum, S. Berkowitz, C. Rackoff. Calcolo parallelo rapido di polinomi utilizzando pochi processori . SIAM J. Comput. 12 (4), pagg. 641-644, 1983.