Cosa succede se miglioriamo i teoremi della gerarchia temporale?

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In poche parole, i teoremi della gerarchia temporale dicono che una macchina di Turing può risolvere più problemi se ha più tempo per il calcolo. In dettaglio per TM deterministico e funzioni costruibili nel tempo con è e per TM non deterministiche e funzioni costruibili nel tempo con è Ci sono molti risultati (vecchi e attuali) che usano i teoremi della gerarchia temporale per dimostrare limiti inferiori. Ecco le mie domande: $f,g$ $f(n) \log f(n) = o(g(n))$

D T I M E (f (n)) ⊊ D T I M E (g (n))

$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(g(n))$

f, g

$f,g$

f (n + 1) = o (g (n))

$f(n+1)=o(g(n))$

N T I M E (f (n)) ⊊ N T I M E (g (n)) .

$NTIME(f(n)) \subsetneq NTIME(g(n)).$

Cosa succede se possiamo dimostrare un risultato migliore per il caso deterministico o non deterministico?
Se possiamo dimostrare che esiste un divario tra la gerarchia temporale deterministica e la gerarchia temporale non deterministica, ciò implica $P \neq NP$ ?

— Marc Bury
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Solo una piccola nota. Per le macchine di Turing k-tape con

k > 2

$k > 2$ , il teorema della gerarchia temporale può essere migliorato: cstheory.stackexchange.com/questions/5297/…

— Michael Wehar,

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Sulla tua seconda domanda. No, ciò non implicherebbe . I teoremi di gerarchia sono principalmente utili per determinare la quantità di una singola risorsa richiesta da una TM in modo da poter risolvere ulteriori problemi. $P \neq NP$

Ad esempio, sappiamo che . Let , , tale che e . $DTIME(n) \neq NTIME(n)$ $f(n) = n$ $g(n)$ $h(n)$ $f(n+1) = o(g(n))$ $f(n)log(f(n)) = o ( h(n) )$

Dai teoremi della gerarchia segue che e . In base a tali presupposti, è possibile . $DTIME( f(n) ) \subsetneq DTIME( g(n) )$ $NTIME ( f(n) ) \subsetneq NTIME( h(n) )$ $NTIME( g(n) ) \subseteq DTIME( h(n) )$

I teoremi della gerarchia possono essere usati per determinare le relazioni tra le risorse, data la loro parità. Ad esempio, supponiamo che . Sappiamo che , per tale che , non può essere uguale a , a causa del teorema della gerarchia NTIME. $NTIME(2^{n}) = SPACE( n )$ $NTIME( g(n) )$ $g(n)$ $2^{n+1} = o(g(n))$ $SPACE(n)$

— chazisop
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Non vedo perché un divario non possa implicare . Ovviamente non è un'implicazione diretta del divario, ma forse c'è un'altra implicazione intermedia che lo implica.

P \neq N P

$P \neq NP$

— Marc Bury,

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la gerarchia thms riguarda anche un continuum nel tempo e nello spazio (considerato separatamente) e sembra possibile che il continuum non sia più "granulare" di quanto non sia implicito nei teoremi, cioè potrebbe essere la migliore "granularità" possibile.

la tua seconda domanda sembra poco chiara o forse non ben definita a meno che tu non riesca a definire meglio cosa intendi per "gap". tutti i problemi decidibili sono risolvibili da qualche parte in entrambe le gerarchie. la difficoltà è determinare le interrelazioni. uno dei rari "vuoti" o separazioni nella teoria attuale è stato effettivamente dimostrato nel tempo deterministico rispetto al tempo non deterministico tale che [1]. vedi anche [2] per una domanda simile e anticipazioni "recenti" $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$

[1] PPST1983 http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1382850

[2] NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?

— VZN
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