Prove interattive tramite Postselection?

Definire il modello di calcolo MPostBQP identico al PostBQP, tranne per il fatto che consentiamo polinomialmente molte misurazioni di qubit prima della post-selezione e della misurazione finale.

Possiamo fornire prove che indicano che MPostBQP è più potente di PostBQP?

Definire MPostBQP [k] per consentire più cicli di misurazione e post-selezione prima di effettuare la misurazione finale. Scegli indicizzazione così MPostBQP [1] = PostBQP e MPostBQP [2] = MPostBQP e così via. (Aggiornamento: una definizione formale è riportata di seguito.)

Considera i giochi di Arthur-Merlin. Forse possiamo simularli in questo modello di calcolo: Postselection può assumere il ruolo di Merlino nel produrre messaggi convincenti e le misurazioni intermedie possono assumere il ruolo di lanci pubblici di Arthur. Questa possibilità mi fa chiedere:

Abbiamo AM [k] MPostBQP [k]? $\subset$

Questo è infatti noto per , che dice MA PP. Mostrarlo per significherebbe MPostBQP = PP solo se AM PP. Poiché esiste un oracolo rispetto al quale AM non è contenuto in PP , ciò potrebbe dare una risposta affermativa per la mia prima domanda. $k=1$ $\subset$ $k=2$ $\subset$

Infine, per il caso polinomiale di molti round,

Abbiamo PSPACE MPostBQP [poli]? Se è così, è uguaglianza? $\subset$

Questo sarebbe filosoficamente interessante (almeno per me) perché ci direbbe che la classe "trattabile" di problemi per uno "stregone post-selezione" include (o è ) tutto PSPACE.

EDIT: mi è stata chiesta una definizione formale di MPostBQP. (Ho aggiornato quanto segue.)

MPostBQP [k] è la classe di lingue per la quale esiste una famiglia uniforme di circuiti quantici di dimensioni polinomiali tale che per tutti ingressi , la procedura di seguito rese veri con probabilità almeno se , e con probabilità al massimo se . La procedura, che consente alcune scelte che possono dipendere da (ma non da ), è definita come segue: $L \subset \{0,1\}^*$ $\{C_n\}_{n \geq 1}$ $x$ $2/3$ $x \in L$ $1/3$ $x \notin L$ $L$ $x$

Procedura: Passaggio 1. Applicare l'operatore unitario corrispondente a allo stato di input . Nota che la lunghezza del primo è al massimo polinomiale nella lunghezza di . Passaggio 2. Per : se è pari, misurare il numero desiderato di qubit dal primo registro (al massimo polinomialmente, data la dimensione del registro). Se è dispari, quindi postselect per cui un singolo qubit scelto le prime misure registrarsi come $C_n$ $\left\vert 0\cdots 0\right> \otimes \left\vert x \right>$ $\left\vert0\cdots 0\right>$ $x$ $i = 1 \cdots k$ $i$ $i$ $\left\vert 0 \right>$ (e avere la garanzia che la probabilità sia diversa da zero, quindi la post-selezione è valida, ovviamente). Passaggio 3. Infine, misurare un ultimo qubit nel primo registro e restituire true se misuriamo e false in caso contrario. $\left \vert 1 \right>$

Abbiamo MPostBQP [0] = BQP, MPostBQP [1] = PostBQP e MPostBQP: = MPostBQP [2]. Sto cercando di rispecchiare le classi Arthur-Merlin in cui AM [0] = BPP, AM [1] = MA e AM [2] = AM.

EDIT (27/03/11 17:00): sembra esserci un dibattito su come definire la post-selezione in questo contesto. Ovviamente, intendo una definizione che non banalizza la mia domanda! :) La definizione che ho assunto è la seguente: Postselecting sul kth bit significa che proiettiamo lo stato nel sottospazio in cui il kth bit è $0$ e normalizzare. Si scopre che in uno schema in cui selezioniamo le post prima di eseguire le misurazioni, quindi possiamo ottenere le statistiche finali osservando le probabilità condizionali in uno schema in cui le post-selezioni sono sostituite da misurazioni. Tuttavia, sostengo che questa caratterizzazione si interrompe quando le misurazioni e le post-selezioni sono intervallate. Penso che la confusione derivi dalle persone che usano questa "definizione di probabilità condizionale" (che funziona nel caso speciale di cui sto generalizzando) come definizione di post-selezione, piuttosto che la definizione di "misurazione forzata" che ho appena dato, che dipende chiaramente da ordine a causa della mancanza di commutatività. Spero che questo possa essere d'aiuto!

EDIT (27/03/11 21:00): ho già definito la post-selezione nel formalismo allo stato puro. Niel ha fornito un'analisi del formalismo della matrice di densità che non è d'accordo con il mio per l'esempio di 3 qubit. Il colpevole è, ancora una volta, la definizione di postselezione. Definisci postselection nelle impostazioni della matrice di densità come segue. Data una matrice di densità , riscrivila come una miscela di stati separabili . Lascia che sia il risultato della selezione post (su alcuni qubit) usando il formalismo allo stato puro che ho definito sopra. Definire il risultato della selezione post su come . $M$ $M = \sum p_i \left\vert a_i \right> \left< a_i \right\vert$ $\left\vert A_i \right>$ $M$ $\sum p_i \left\vert A_i \right> \left< A_i \right\vert$

Questa è una definizione più sensata, perché non ci dà risultati che dicono che dopo la post-selezione, alteriamo le statistiche degli eventi (misurazioni) che abbiamo già visto accadere. Cioè, il $p_i$ sono probabilità di monete che abbiamo "già lanciato". Non ha senso per me dire che torneremo indietro nel tempo e distorceremo un lancio di monete che è già accaduto perché ciò renderebbe più probabile l'attuale selezione post.

EDIT (28/03/11 13:00): Niel ammette che con le mie definizioni il problema ha senso e non banalizza, ma con la stipula che non dovrei chiamarlo post-selezione . Data la quantità di confusione, devo essere d'accordo con lui. Quindi chiamiamo ciò che ho definito essere la selezione , che esegue una "misurazione forzata". Probabilmente dovrei cambiare anche il nome delle classi di complessità che ho definito (per non avere "Post" in esse), quindi chiamiamole QMS [k] (quantum-measure-select).

— Shaun Harker
fonte

Puoi definire MPostBQP in modo più formale? Se intendi solo che questa classe ha il potere di post-selezionare in base al risultato di diversi bit, allora questa classe dovrebbe essere contenuta in PostBQP.

— Robin Kothari,

L'idea chiave non è quella di post-selezionare più bit contemporaneamente, perché come sottolinea Robin questo non aiuta. Serve per intercalare misure e post-selezioni. Non possiamo permutare questi; l'ordine conta. Ad esempio, in PostBQP non funzionerebbe per misurare la risposta, quindi in seguito alla selezione.

— Shaun Harker,

Vedi il commento sulla risposta di Niel; possiamo rimandare sia le misurazioni che le post-selezioni fino a dopo l'evoluzione quantistica. Lo sto già facendo! Lo stesso argomento non sembra riordinare anche le post-selezioni dopo le misurazioni, poiché le misurazioni non sono unitarie. In particolare, sto dicendo che le misurazioni e le post-selezioni sono operazioni non unitarie sullo stato quantico che non commutano, quindi per quanto posso dire non possiamo senza perdita rimandare tutte le post-selezioni fino a dopo tutte le misurazioni.

— Shaun Harker,

@Shaun Harker: il fatto che le misurazioni e le post-selezioni siano non unitarie in realtà non ci danno ulteriori informazioni sul fatto che saranno commutate. Forse potresti individuare il motivo per cui pensi che non facciano il pendolare?

— Niel de Beaudrap,

A causa dell'entanglement. Ecco un esempio Preparare lo stato

. Scegli

. Se misuriamo prima il primo qubit e poi postselect sul terzo qubit e quindi misuriamo il secondo qubit per il nostro risultato, otteniamo

con uguale probabilità. Se prima selezioniamo postsel sul terzo qubit, quindi misuriamo il primo qubit e infine misuriamo il secondo qubit per il nostro risultato, otteniamo

meno spesso di quanto ne otteniamo

α | 000 ⟩ + \sqrt{1 / 2 - α^{2}} | 011 ⟩ + \sqrt{1 / 2 - β^{2}} | 101 ⟩ + β | 110 ⟩

$\alpha\left\vert 000 \right> + \sqrt{1/2 - \alpha^2} \left\vert 011 \right> + \sqrt{1/2 - \beta^2} \left\vert 101 \right> + \beta\left\vert 110 \right>$

0 < α < β < 1

$0 < \alpha < \beta < 1$

0

$0$

1

$1$

0

$0$

1

$1$

— Shaun Harker,

Risposte:

Dai commenti sembra che Shaun abbia in mente qualcosa di diverso da ciò che viene normalmente compreso dalla post-selezione. Ora capisco che ciò significa che le statistiche relative a qualsiasi misurazione effettuata prima di una determinata selezione post non devono essere modificate dalla successiva selezione post. Ciò è simile all'avere un operatore di proiezione in cui la normalizzazione viene eseguita su ciascun ramo della funzione d'onda corrispondente a un determinato risultato di misurazione, piuttosto che sulla funzione d'onda nel suo insieme.

In questo caso, gli argomenti forniti in altre risposte da me e Neil non valgono più. In effetti si vede facilmente che MPostBQP [k], dal momento che MPostBQP può essere visto come una macchina BQP che può fare query a un oracolo PP, e quindi MPostBQP . $P^{PP[k]}\subseteq$ $[k]$ $k$ $P^{\# P}\subseteq$

Quindi ora abbiamo un limite inferiore non banale, che dire di un limite superiore? Bene, chiaramente il problema è in PSPACE , ma possiamo fare di meglio? In realtà, penso che possiamo.

Possiamo scrivere qualsiasi calcolo in MPostBQP come una sequenza di strati della forma: calcolo quantico seguito da una selezione post, seguita da una singola misurazione del qubit. In effetti, questo potrebbe essere un modo alternativo per formulare MPostBQP [k], come un calcolo composto da tali strati (questo è leggermente diverso dalla definizione di Shaun che credo sia intesa per contare solo il numero di post-selezioni), seguito da un strato finale di post-elaborazione classica. Userò questa definizione di MPostBQP [k] nel seguito, in quanto porta a un risultato esteticamente più piacevole. $k$

Di seguito viene aggiornato dalla versione originale per correggere un buco nella prova.

Innanzitutto desideriamo calcolare l'esito della misurazione del primo qubit misurato (non post-selezionato!). Per fare ciò, notiamo innanzitutto che qualsiasi calcolo quantistico può essere espresso usando solo cancelli Hadamard e cancelli Toffoli e l'ampiezza di un particolare stato di base computazionale nell'output può essere scritto come somma di al massimo termini , dove è il numero totale di porte di Hadamard, ognuno dei quali corrisponde a un percorso computazionale unico. Chiaramente, $\alpha_w$ $|w\rangle$ $2^{H}$ $a_{j,w}$ $H$ $a_{j,w} = \pm 2^{-H/2}$ . La probabilità di ottenere uno stato finale è data da . Vogliamo calcolare la probabilità totale di misurare un 1. Sia l'insieme di stati di base computazionale che soddisfano i criteri di post-selezione (cioè il qubit post-selezione è 1) e risultino in 0 per il qubit misurato, e lasciamo $|w\rangle$ $\alpha_w^2 = (\sum_j a_{j,w})^2 = \sum_{i,j} a_{j,w}a_{i,w}$ $S_0$ $S_1$ essere l'insieme degli stati di base computazionale che soddisfano i criteri di post-selezione e risultano 1 per il qubit misurato. Possiamo definire e

π_{0}^{\pm} = \sum w \in S_{0} \pm \sum_{s i g n (a_{j, w} a_{i, w}) = \pm} a_{j, w} a_{i, w}

$\pi_0^\pm = \sum{w \in S_0} \pm \sum_{sign(a_{j,w}a_{i,w}) = \pm} a_{j,w}a_{i,w}$

π_{1}^{\pm} = \pm \sum_{w \in S_{1}} \sum_{s i g n (a_{j, w} a_{i, w}) = \pm} a_{j, w} a_{i, w} .

$\pi_1^\pm = \pm \sum_{w \in S_1} \sum_{sign(a_{j,w}a_{i,w}) = \pm} a_{j,w}a_{i,w}.$

La probabilità in questo caso di misurare un 1 condizionato su un 1 per il qubit post-selezionato è data da . Come possiamo determinare questo con 4 chiamate a un oracolo #P. Usiamo questo per produrre un bit casualeche è 1 con probabilità, lo stesso della misurazione quantistica. PertantoMPostBQP[1] è in. $\frac{\pi_1^+ - \pi_1^-}{\pi_1^+ - \pi_1^- - \pi_0^- + \pi_0^+}$ $b_1$ $X_1$ $BPP^{\# P[4]}$

$b_1$ $\# P$ $b_2$ . Nota che ora abbiamo usato 8 chiamate all'oracolo #P .

$j$ $j$ $b_{i<j}$ $P^{\# P}$ $b_j$ $4j$

$\subseteq P^{\# P[4k]}$ $P^{PP[k]}\subseteq$ $[k]$ $P^{PP[k]} \subseteq$ $\subseteq BPP^{\# P[4k]}$ $= P^{\# P}$

— Joe Fitzsimons
fonte

[Revisionato.] Ho modificato la mia risposta in base alle tue revisioni alla tua domanda, ho conservato il contenuto della mia risposta originale, ma l'ho reso più breve. La descrizione più elaborata del processo di "simulazione" è stata sostituita, ma suppongo che possa essere vista visualizzando la cronologia delle modifiche di questo post.

Molte persone capiranno la "post-selezione" nel senso di una probabilità condizionata. In effetti, l'attuale versione dell'articolo di Wikipedia su PostBQP la descrive in questo modo; e visto come un'operazione su operatori di densità (in cui si applica una mappa di traccia non crescente completamente positiva Φ, tale che Φ ² = Φ, e quindi rinormalizza la traccia) si recupera questa definizione.

Data questa definizione di postselezione, la tua definizione di un algoritmo MPostBQP [ k ] può essere simulata da un algoritmo PostBQP , rinviando le post-selezioni ed eseguendole simultaneamente, in modo adeguato. Questo si nota più o meno esplicitamente a pagina 3 del documento Quantum Computing, Postselection e Probabilistic Polynomial-Time di Aaronson che introduce la classe PostBQP .

Ciò può essere mostrato esplicitamente osservando che, per una sequenza di bit P ₁ , P ₂ , ... da selezionare post ( ad esempio nello 1stato, che è normale), non vi è alcuna differenza tra il condizionamento sul fatto che sono 1nel mezzo di il calcolo e il condizionamento su di essi si 1trovano alla fine del calcolo, purché i valori di questi bit non vengano modificati nel frattempo. Quindi, anziché post-selezione su ciascuno di essi individualmente 1, possiamo calcolare il loro AND logico prima della post-selezione e quindi post-selezione su quella congiunzione1. Inoltre, il calcolo dell'AND può essere eseguito in qualsiasi punto tra l'ultima trasformazione del bit e la sua post-selezione. Ciò non influirà in alcun modo sulle statistiche congiunte di nessuna delle proprietà dello stato.

Quindi, usando la definizione comune di postselezione in termini di probabilità condizionate, avremmo MPostBQP [ k ] = PostBQP per tutti k > 0.

Come ho notato nei commenti sopra, non penso che l'operazione che descrivi sullo stato vettori - in particolare, che coinvolgono la rinormalizzazione dei vettori di stato in modo indipendente in ciascun ramo della distribuzione di probabilità sugli esiti della misurazione- corrisponde alla post-selezione, poiché molte persone sul campo (specialmente gli sperimentatori) descriveranno il concetto. Può anche dare origine ad alcune proprietà "non fisiche", se estesa a una mappatura sugli operatori di densità. Tuttavia, è un possibile mezzo per costruire qualcosa come alberi decisionali i cui nodi sono etichettati da vettori di stato, e quindi in linea di principio è un ragionevole processo di studio a sé stante. Non chiamerei questo processo "post-selezione".

[Modifica.] Per motivi di ordine, ho rimosso l'esempio calcolato. Suppongo che possa essere visto visualizzando la cronologia delle modifiche di questo post.

— Niel de Beaudrap
fonte

L'argomento appare incompleto. Il commento nel documento di Aaronson sottolinea che non otteniamo alcun potere intervallando le selezioni di post con le evoluzioni unitarie, così come non aiuta a intersecare le misurazioni con le evoluzioni unitarie. Ma non sto facendo nessuno dei due; Sto intervallando post-selezione e misurazione. Per rispondere alla mia domanda in modo negativo in questo modo richiederebbe di dimostrare che possiamo sempre ordinare le post-selezioni dopo le misurazioni senza perdita di potenza. (Per me non è affatto ovvio.) Il resto della risposta spiega solo perché ho definito la classe in modo da selezionare solo post su un bit ogni round.

— Shaun Harker,

C_{j}

$C_j$

C_{j}

$C_j$

C_{j}

$C_j$

Sembra che tu stia sostenendo che otteniamo le stesse statistiche se riordiniamo le post-selezioni e le misurazioni. Ma se misuriamo alcuni bit prima di una postselection, quindi misuriamo da una distribuzione diversa , avremmo se misurassimo quegli stessi bit dopo la postselection. Quindi le statistiche non sono le stesse.

— Shaun Harker,

Ai fini della raccolta di statistiche, una post-selezione può essere implementata fisicamente (anche se in modo inefficiente) semplicemente rifiutando le prove in cui la postcondizione desiderata non regge. Lo stato del mantenimento di una postcondizione ( ad es. "Questo singolo bit è nello stato | 1⟩" o "questi cinque bit sono tutti nello stato | 1⟩") non è influenzato dall'ordine di misurazione, purché le operazioni non lo siano applicato per modificare i bit che memorizzano i risultati. Poiché il fatto che una prova venga rifiutata o meno è indipendente dall'ordine di misurazione in PostBQP , possiamo posticipare la selezione post fino alla fine.

— Niel de Beaudrap,

Questa caratterizzazione della post-selezione si applica solo quando eseguiamo la post-selezione prima delle misurazioni. L'esempio di tre qubit che ho dato lo ha già dimostrato. Se sbaglio, rispondi direttamente confutando questo esempio che fornisce statistiche diverse a seconda dell'ordinamento delle misurazioni e delle post-selezioni.

— Shaun Harker,

Dalla tua definizione di MPostBQP sembrerebbe che questo sia semplicemente PostBQP in costume. Invece di provare a convincerti che le misurazioni possono essere riordinate, forse potresti trovare più convincente provare MPostBQP = PP , poiché è noto che PostBQP = PP (vedi quant-ph / 0412187 ). Per dimostrarlo, lo separiamo in due compiti:

$\subseteq$
$\subseteq$

$\subseteq$

Quanto segue è adattato dallo schizzo di prova di Wikipedia per PostBQP = PP .

$|\psi\rangle = \prod_i (P_i^1 \prod_j A^{ij}) |x\rangle$ $P_i^1$ $i$ $|1\rangle$ $A^{ij}$ $A^{ij}$

$\{p_i\}$ $q$ $\pi_0 = \sum_{w \in S_0} \psi_w^2$ $\pi_1 = \sum_{w \in S_1} \psi_w^2$ $S_0$ $S_1$ $p_i = 1 \forall i$ $q=0$ $q=1$ $\pi(1) \geq 2\pi(0)$ $\pi_0 \geq 2\pi_1$ $\pi_0$ $\pi_1$ $\psi_w$ $\psi$ $w$ $i$ $j$ $A^{ij}$ $k$ $G$ $\psi_w = \sum_{\alpha_1 ... \alpha_G} A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$

$\frac{1}{2}(1+C(\pi_1-\pi_0))$ $C>0$ $x \in L$ $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0)> \frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0) < \frac{1}{2}$ $x \notin L$

$\alpha = \{\alpha_i\}$ $F(A,w,\alpha,X) = A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$ $\pi_1 - \pi_0 = \sum_{w \in S_1} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X) - \sum_{w \in S_0} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X)$

Tale macchina PP può quindi essere definita come segue:

$w$
$w \notin S_0 \cup S_1$ $1/2$
$\alpha$ $\alpha'$ $G$
$X = F(A,w,\alpha,x)F(A,w,\alpha',x)$
$w\in S_1$ $\frac{1+X}{2}$ $w\in S_0$ $\frac{1-X}{2}$

$\subseteq$ $k$

— Joe Fitzsimons
fonte

Questa argomentazione mostra che infrangere più post-selezioni con evoluzioni unitarie non ci dà altro che PP. Sono totalmente d'accordo. Possiamo senza perdita di potere rimandarli fino alla fine e ne abbiamo solo bisogno. Non vedo che questo argomento mi dica qualcosa di più. Ma la mia domanda pone qualcosa di diverso; riguarda l'evoluzione unitaria seguita da cicli di misurazione e selezione (con le probabilità finali calcolate tramite questo metodo dell'albero decisionale). Quindi non vedo che questo affronti la mia domanda.

— Shaun Harker,

Per non dire che non apprezzo (estremamente) lo sforzo che hai fatto nella tua risposta. Semplicemente non vedo che si rivolge a ciò che stavo davvero cercando di ottenere, che devo ammettere che non ho fatto un ottimo lavoro di spiegazione.

— Shaun Harker,

@Shaun: non vedo la distinzione. Stai suggerendo che l'aggiunta di misurazioni cambia la potenza? Questo non è certamente il caso, poiché le misure sono sempre equivalenti all'evoluzione unitaria su uno spazio di Hilbert più ampio.

— Joe Fitzsimons,

@Shaun: il mio punto è che matematicamente la situazione con le misurazioni e la situazione senza (ma con uno spazio di Hilbert adeguatamente allargato) sono identiche. Non sto cercando di fare alcun tipo di punto filosofico, o di favorire un'interpretazione della meccanica quantistica, sto semplicemente sottolineando che l'aggiunta di misurazioni non fa differenza per il potere computazionale a causa di un risultato (matematico) ben consolidato.

— Joe Fitzsimons,

@Shaun: Mi sembra che tu stia implementando la post-selezione in modo errato. Se lo si implementa in modo normale (ovvero considerando quali statistiche si ottengono se si considerano solo quei risultati che soddisfano un determinato criterio), si ottiene PostBQP = MPostBQP, come hanno dimostrato sia Niel che io. Ottieni anche statistiche identiche indipendentemente dall'ordinamento per le misurazioni dello stato che hai fornito nei commenti. È importante sottolineare che il primo qubit non dà 0 e 1 con uguale probabilità. (continua)

— Joe Fitzsimons,