Qual è l'algoritmo più veloce per calcolare il rango di una matrice rettangolare?

Data una matrice (supponendo ), qual è l'algoritmo più veloce per calcolare il suo rango e la base delle colonne?$m \times n$$m \ge n$

Sono consapevole che può essere risolto attraverso l'intersezione matroid lineare, che implica un algoritmo deterministico di tempo e un algoritmo randomizzato di tempo . Esiste un algoritmo deterministico temporale che riduce più direttamente il problema (o l'eliminazione gaussiana) alla moltiplicazione matriciale?$O(mn^{1.62})$$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

Puoi portare una matrice in forma di echelon nel tempo O ( n ω + ϵ ) per qualsiasi . Vedi il libro "Teoria della complessità algebrica" ​​di Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Sezione 16.5.$2n \times n$$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

Ora applichi questa procedura volte a -matrix. Ciò fornisce un algoritmo con operazioni aritmetiche .$m/n$$m \times n$$O(mn^{\omega-1})$

Se porti una matrice in forma di echelon, allora contiene una matrice zero di dimensioni seguito. Prendi la restante matrice n × n , aggiungi un nuovo blocco n × n della tua matrice di input e la porti in forma echelon e così via.n × $2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$

$m \times n$$\tilde{O}(\textrm{nnz}(A) + r^{\omega})$$\textrm{nnz}(A)$$A$$r$$A$$r$$O(mn^{\omega-1})$