Classificazione dei calcoli lambda tipizzati / non tipizzati

Qualcuno può spiegare brevemente (se possibile!) O riferirmi a un riferimento, riassumendo le differenze tra il calcolo lambda non tipizzato e i calcoli lambda tipizzati più comuni?

In particolare cerco dichiarazioni sulla loro potenza espressiva, equivalenze a sistemi logici / aritmetici o metodi di calcolo e analogie con i linguaggi di programmazione, se applicabile.

Mentre certamente intendo leggere, qualcosa come una tabella di riferimento che delinea i calcoli e le loro equivalenze / differenze / posizione nella gerarchia sarebbe un riferimento ENORME per aiutarmi a risolverli.

Non dire che il seguito è corretto, sto solo cercando di tracciare insieme alcune delle impressioni che devo vedere se almeno servono come punto di partenza (o qualcosa da correggere!)

Calcolo lambda non tipizzato - eq. alla logica del primo ordine - impossibile fare X

Calcolo lambda semplicemente digitato - eq to ... logic, related to Lisp?

Lambda calc "polimorfico" - ecc.

Calcolo delle costruzioni - logica intenzionalista?

Logica combinatoria - paragonabile a ??? calcolo lambda tipizzato, relativo al tipo di lingue APL / J

Se questo si lega meglio al cubo lambda e ai suoi tre assi.

Mentre ho familiarità con le basi del calcolo lambda e la programmazione con linguaggi funzionali, non ho mai spostato la testa o fatto connessioni significative con i sistemi di tipi coinvolti e i diversi sapori dei calcoli lambda (e forse pi?).

Quando provo a ricercare questo, non posso fare a meno di trovarmi distratto, aprendo molte schede del browser e ramificando in così tante direzioni che non riesco mai ad entrare in nessuna di esse con profondità!

Non sono sicuro se ciò che sto chiedendo sia ragionevole, ma spero almeno di aver dipinto abbastanza un'immagine per suggerire qualche lettura che possa spiegare cosa sto cercando?

Il tuo tavolo è un po 'confuso; eccone uno migliore.

• Calcolo lambda non tipizzato - nessuna interpretazione logica, come osserva Andrej
• Calcolo lambda semplicemente digitato - logica proposizionale intuizionista
• Calcolo lambda polimorfico - pura logica del secondo ordine (cioè senza quantificatori del primo ordine)
• Tipi dipendenti - generalizzazione della logica del primo ordine
• Calcolo delle costruzioni - generalizzazione della logica di ordine superiore

La dipendenza dal tipo è più generale della quantificazione del primo ordine, poiché trasforma le prove in oggetti su cui è possibile quantificare. Esistono calcoli lambda corrispondenti al normale FOL intuizionista, ma non sono abbastanza usati da avere un nome speciale - le persone tendono ad andare direttamente ai tipi dipendenti.

Puoi anche mettere in relazione la forma sintattica di un calcolo con sistemi logici.

• Calcoli combinatori (ad es. Combinatori SKI) - Sistemi in stile Hilbert
• Forma A-normale - calcolo sequenziale
• Calcolo lambda tipizzato ordinario - detrazione naturale

$\lambda$$\lambda$$\lambda$nat$\lambda$$0$$T$

$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$$\lambda$Ulambda : U -> (U -> U)gamma : (U -> U) -> U$\lambda$$\mathbb{U}$$\lambda$$\mathcal{C}$$\mathbb{U}$$\mathbb{U}$$[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$$\mathbb{U} \cong \mathbb{U}^{\mathbb{U}}$

Riferimenti:

• Dana S. Scott: " Lambda Calculus: Some Models, Some Philosophy ", Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Volume 101, 1980, Pages 223-265, The Kleene Symposium

• Hendrik Pieter Barendregt: " Il calcolo lambda: la sua sintassi e semantica ", Elsevier, 1984.

Una discussione abbastanza esauriente su questo argomento è disponibile in questo libro: lezioni sull'isomorfismo di Curry-Howard . Questo si basa sulla versione precedente disponibile gratuitamente: lezioni sull'isomorfismo di Curry-Howard .