I tipi sono proposizioni? (Cosa sono esattamente i tipi?)

Ho letto molto su sistemi di tipo e simili e capisco all'incirca perché sono stati introdotti (per risolvere il paradosso di Russel). Capisco anche approssimativamente la loro rilevanza pratica nei linguaggi di programmazione e nei sistemi di prova. Tuttavia, non sono del tutto sicuro che la mia idea intuitiva di che tipo sia, sia corretta.

La mia domanda è: è valido affermare che i tipi sono proposizioni?

In altre parole, l'affermazione "n è un numero naturale" corrisponde all'affermazione "n ha il tipo 'numero naturale'", il che significa che tutte le regole algebriche che coinvolgono numeri naturali valgono per n. (Vale a dire in un altro modo, le regole algebriche sono affermazioni. Quelle affermazioni che sono vere per i numeri naturali valgono anche per n.)

Quindi questo significa che un oggetto matematico può avere più di un tipo?

Inoltre, so che i set non sono equivalenti ai tipi perché non è possibile avere un set di tutti i set. Potrei affermare che se un insieme è un oggetto matematico simile a un numero o una funzione , un tipo è una sorta di oggetto meta-matematico e per la stessa logica un tipo è un oggetto meta-meta-matematico? (nel senso che ogni "meta" indica un livello più alto di astrazione ...)

Questo ha qualche tipo di collegamento con la teoria delle categorie?

Il ruolo chiave dei tipi è quello di suddividere gli oggetti di interesse in universi diversi, piuttosto che considerare tutto ciò che esiste in un universo. Inizialmente, i tipi sono stati ideati per evitare i paradossi, ma come sapete, hanno molte altre applicazioni. I tipi consentono di classificare o stratificare gli oggetti (vedi post di blog ).

Alcuni lavorano con lo slogan secondo cui le proposizioni sono tipi , quindi la tua intuizione ti è sicuramente utile, sebbene ci sia un lavoro come Proposizioni come [Tipi] di Steve Awodey e Andrej Bauer che sostengono il contrario, vale a dire che ogni tipo ha una proposizione associata. La distinzione viene fatta perché i tipi hanno un contenuto computazionale, mentre le proposizioni no.

Un oggetto può avere più di un tipo a causa del sottotipo e tramite le coercizioni del tipo .

I tipi sono generalmente organizzati in una gerarchia, in cui i tipi svolgono il ruolo del tipo di tipi, ma non vorrei spingermi fino a dire che i tipi sono meta-matematici. Tutto procede allo stesso livello - questo è particolarmente vero quando si tratta di tipi dipendenti .

Esiste un legame molto forte tra tipi e teoria delle categorie. In effetti, Bob Harper (citando Lambek) afferma che Logica, Lingue (dove risiedono i tipi) e Categorie formano una trinità santa . citando:

Questi tre aspetti danno origine a tre sette di adorazione: la logica, che dà il primato a prove e proposizioni; Lingue, che dà il primato a programmi e tipi; Categorie, che danno il primato a mappature e strutture.

Dovresti guardare la corrispondenza Curry-Howard per vedere il collegamento tra Logica e Linguaggi di programmazione (i tipi sono proposizioni) e Cartesian Closed Categories , per vedere il rapporto tra la teoria delle categorie.