Espansori sbilanciati "industriali" efficienti in termini di spazio

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Sto cercando espansori sbilanciati che siano "buoni" ed "efficienti in termini di spazio". In particolare, un grafico bipartito di sinistra regolare , , , con grado sinistro è un espansore se per qualsiasi di dimensioni al massimo , il numero di vicini distinti di in è almeno. È noto che il metodo probabilistico produce tale grafico con e . Tuttavia, è necessario $G=(A,B,E)$ $|A|=n$ $|B|=m$ $d$ $(k,\epsilon)$ $S \subset A$ $k$ $S$ $B$ $(1-\epsilon)d|S|$ $d=O(\log (n/k)/\epsilon)$ $m=O(k \log(n/k)/\epsilon^2)$ $O(n d)$ spazio per memorizzare un tale grafico. Inoltre, è necessario accedere a questa memoria quando si fa qualcosa con il grafico, che può anche costare. Idealmente, si vorrebbe una costruzione esplicita. Tuttavia, per quanto ne so, le costruzioni note raggiungono parametri che sono ancora in qualche modo lontani da quanto sopra (almeno in modo dimostrabile).

La mia domanda: ci sono altre costruzioni, forse non esplicite, che raggiungono limiti "più vicini" a quelli sopra, ma usano "significativamente meno" dello spazio ? $O(nd)$

Sto cercando risposte in una di queste tre categorie: (a) teoremi (b) congetture (c) osservazioni e "storie di guerra" come "l'abbiamo fatto e sembrava che funzionasse (una specie di)". Cioè, gli espansori "industriali" sono OK. Preferisco (a) rispetto a (b) e (b) rispetto a (c), ma i mendicanti non possono essere selettori :)

Ecco un esempio di una costruzione di tipo (c). Prendi funzioni hash lineari casuali (mod ) e collega ciascun vertice a . Io e il mio studente abbiamo fatto alcuni esperimenti su di esso e sembrava funzionare "bene". Ci sono teoremi o congetture su questa o costruzioni correlate? $d$ $h_i: [n] \to [m]$ $m$ $i$ $h_1(i) \ldots h_d(i)$

Grazie!

graph-theory derandomization expanders

— Piotr
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Questa è un'ottima domanda, ma sembra che non ci siano risposte! Nessuno usa espansori diversi da come una bacchetta magica per far funzionare le prove? Pensavo che alcuni tipi di grafici Ramanujan fossero abbastanza semplici da costruire.

— András Salamon,

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I grafici di Ramanujan sono in effetti relativamente facili da costruire, ma sono bilanciati , cioè m = n.

— Piotr,

Hai mai visto la costruzione Guruswami-Umans-Vadhan? Mi chiedo perché non soddisfi le tue esigenze.

— Zeyu,

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Eickmeyer e Grohe (2010) dimostrano che la costruzione candidato può essere reso esplicito: prendere un po 'linearmente indipendenti funzioni di hash lineare e vertici di connessione sinistra con vertici a destra . Eickmeyer e Grohe mostrano che questa costruzione fornisce espansori con grado sinistro $d$ $h_1,\dots,h_d$ $v$ $h_1(v),\dots,h_d(v)$ $(k,\epsilon)$ , ogni volta che è un numero intero, il set di vertici sinistro ha dimensione , il set di vertici destro ha dimensione e è una potenza primaria. Le funzioni hash sono scelte in modo tale che qualsiasi di esse sia linearmente indipendente. $d=k(t-1)/(2\epsilon)$ $t$ $n=q^t$ $m=dq$ $q>d$ $h_1,\dots,h_d$ $t$

— Holger
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Ho pensato che dare un'occhiata ai sondaggi / colloqui di Avi Wigderson potrebbe essere d'aiuto con la tua domanda. Ecco le diapositive di un recente discorso: Expander Tutorial, giugno 2010 . Le costruzioni iniziano a pagina 40.

Per quanto riguarda la complessità dello spazio, penso che possa essere utile se specifichi le operazioni che devi eseguire sul grafico. Se non sbaglio, alcune costruzioni consentono operazioni come il vicinato informatico nello spazio di log.

— Kaveh
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