Qual è il divario maggiore tra il grado e il grado approssimativo?

Sappiamo che il registro del rango di una matrice 0-1 è il limite inferiore della complessità della comunicazione deterministica e il registro del rango approssimativo è il limite inferiore della complessità della comunicazione randomizzata. Il divario più grande tra la complessità della comunicazione deterministica e la complessità della comunicazione randomizzata è esponenziale. E che dire del divario tra rango e rango approssimativo di una matrice booleana?

— pyao
fonte

qual è il "rango approssimativo" di una matrice?

— Suresh Venkat,

Il rango approssimativo

di una matrice booleana

è il rango minimo di una matrice reale

che differisce da

al massimo

in qualsiasi voce (cfr Buhrman e Wolf 2001, "Complessità della comunicazione inferiore ai limiti dei polinomi"). Sarebbe utile modificare la domanda per spiegare questo (se è la definizione desiderata) e descrivere il ruolo di

(poiché la differenza nei ranghi dipende chiaramente da

ϵ

$\epsilon$

M

$M$

A

$A$

M

$M$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— mjqxxxx,

Per prima cosa fornirò alcuni retroscena e definirò il rango approssimativo. Un buon riferimento è il recente sondaggio di Lee e Schraibman sui limiti inferiori della complessità della comunicazione .

Definizione: Sia una matrice di segni. Il rango approssimativo di con fattore di approssimazione , indicato con , è $A$ $A$ $\alpha$ $rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$ .

Quando , definire $\alpha\to \infty$

. $rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$

Un risultato di Krause afferma che dove e è la comunicazione con moneta privata con errore limitato complessità di con errore superiore di . $R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$ $\alpha=1/(1-2\epsilon)$ $R_\epsilon^{pri}$ $A$ $\epsilon$

Quanto sopra era per lo sfondo. Ora per rispondere alla domanda, Letti e Simon hanno dimostrato che caratterizza completamente la sconfinata-errore di comunicazione complessità . Essi hanno inoltre dimostrato che questo concorda con la dimensione minima di una disposizione realizzare la funzione booleana cui matrice comunicazione è . La complessità della comunicazione dell'errore illimitato della funzione di uguaglianza è $rank^\infty(A)$ $A$ $A$ $O(1)$ . Tienilo a mente.

La matrice di comunicazione per l'uguaglianza è solo l'identità, cioè una matrice booleana con righe e colonne con tutte quelle in diagonale. Indichiamolo con . Alon ha mostrato che che è stretto fino a un fattore logaritmico (con il teorema di Krause otteniamo $2^n$ $2^n$ $I_{2^n}$ $rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$ ). $R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

La matrice identità ha il grado completo, cioè . Pertanto, abbiamo separazioni esponenzialmente grandi per e . $2^n$ $\alpha=2$ $\alpha\to\infty$

— Marcos Villagra
fonte

Grazie. ma la mia domanda è se esiste un gap superexponenziale per

, dove

ma non

r a n k (A)

$rank(A)$

r a n k^{α} (A)

$rank^{\alpha}(A)$

α > 1

$\alpha>1$

α \neq \infty

$\alpha\neq\infty$

— pyao,

aah vedo, ma questo non è scritto nella domanda. Per quanto ne so, il divario maggiore è esponenziale.

— Marcos Villagra,

Marcos dà un riferimento che mostra un gap di

tra

. come può esserci un gap superexponenziale quando la dimensione della matrice è

2^{n} / n

$2^n/n$

r a n k

${rank}$

{r a n k}^{2}

${rank}^2$

2^{n}

$2^n$

— Sasho Nikolov,

intendi un gap di

anziché

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

— Sasho Nikolov,

{0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$