Apprendimento PAC quantico

sfondo

Le funzioni in $AC^0$ sono PAC apprendibili in tempo quasipolinomiale con un algoritmo classico che richiede query scelte casualmente per apprendere un circuito di profondità d [1]. Se non esiste un algoritmo di factoring questo è ottimale [2]. Naturalmente, su un computer quantistico sappiamo come fattorizzare, quindi questo limite inferiore non aiuta. Inoltre, l'algoritmo classico ottimale utilizza lo spettro di Fourier della funzione urlando così "quantumami!"$O(2^{log(n)^{O(d)}})$$2^{n^{o(1)}}$

[1] N. Linial, Y. Mansour e N. Nisan. [1993] "Circuiti a profondità costante, trasformata di Fourier e apprendibilità", Journal of ACM 40 (3): 607-620.

[2] M. Kharitonov. [1993] "Durezza crittografica dell'apprendimento specifico della distribuzione", Atti di ACM STOC'93, pp. 372-381.

In effetti, 6 anni fa, Scott Aaronson ha messo l'apprendibilità di come una delle sue dieci sfide semi-grandi per la teoria del calcolo quantistico .$AC^0$

Domanda

La mia domanda è triplice:

1) Esistono esempi di famiglie di funzioni naturali che i computer quantistici possono apprendere più velocemente dei computer classici con ipotesi crittografiche?

2) Ci sono stati progressi in particolare sull'apprendimento di ? (o il leggermente più ambizioso )$AC^0$$TC^0$

3) Per quanto riguarda l'apprendimento di , Aaronson commenta: "allora i computer quantistici avrebbero un enorme vantaggio rispetto ai computer classici nell'apprendimento di pesi quasi ottimali per le reti neurali". Qualcuno può fornire un riferimento su come si collegano l' aggiornamento di peso per reti neurali e circuiti ? (a parte il fatto che le porte di soglia sembrano neuroni sigmoidi)$TC^0$$TC^0$ (Questa domanda è stata posta e ha già risposto )

Prenderò una foto alla tua prima domanda:

Esistono esempi di famiglie di funzioni naturali che i computer quantistici possono apprendere più velocemente dei computer classici con ipotesi crittografiche?

Bene, dipende dal modello esatto e dalla risorsa minimizzata. Un'opzione è quella di confrontare la complessità del campione (per l'apprendimento PAC indipendente dalla distribuzione) del modello classico standard con un modello quantistico a cui vengono dati campioni quantistici (ovvero, invece di ricevere un input casuale e il valore della funzione corrispondente, viene fornito l'algoritmo con una sovrapposizione quantistica sugli input e sui valori delle loro funzioni). In questa impostazione, l'apprendimento PAC quantico e l'apprendimento PAC classico sono sostanzialmente equivalenti. Il limite superiore classico sulla complessità del campione e il limite inferiore quantico sulla complessità del campione sono quasi gli stessi, come mostrato dalla seguente sequenza di articoli:

[1] R. Servedio e S. Gortler, "Equivalenze e separazioni tra apprendibilità quantistica e classica", SIAM Journal on Computing, vol. 02138, pagg. 1–26, 2004.

[2] A. Atici e R. Servedio, "Limiti migliorati per gli algoritmi di apprendimento quantistico", Quantum Information Processing, pagg. 1-18, 2005.

[3] C. Zhang, "Un limite inferiore migliorato alla complessità delle query per l'apprendimento PAC quantico", Information Processing Letters, vol. 111, n. 1, pagg. 40–45, dicembre 2010.

$O(n^{\log n})$

[4] N. Bshouty e J. Jackson, "Imparare DNF sulla distribuzione uniforme usando un oracolo di esempio quantico", SIAM Journal on Computing, vol. 28, n. 3, pagg. 1136-1153, 1998.

[5] J. Jackson, C. Tamon e T. Yamakami, "L'apprendimento del DNF quantistico rivisitato", Informatica e Combinatoria, pagg. 595-604, 2002.

[6] A. Atıcı e R. Servedio, "Algoritmi quantistici per l'apprendimento e il test di Juntas", Quantum Information Processing, vol. 6, n. 5, pagg. 323–348, settembre 2007.

D'altra parte, se sei interessato solo al modello PAC classico standard, usando il calcolo quantistico come strumento di post-elaborazione (cioè, nessun campione quantistico), Servedio e Gortler [1] hanno osservato che esiste una classe di concetti dovuta a Kearns e Valiant che non possono essere appresi classicamente in PAC, supponendo la durezza del factoring degli interi di Blum, ma possono essere appresi in modo quantico in PAC usando l'algoritmo di Shor.

La situazione del modello di apprendimento esatto di Angluin attraverso le domande di adesione è in qualche modo simile. Le query quantistiche possono dare solo un aumento polinomiale in termini di complessità delle query. Tuttavia, esiste una accelerazione esponenziale della complessità temporale che presuppone l'esistenza di funzioni a senso unico [1].

Non ho idea della seconda domanda. Sarei felice di saperne di più anche su questo.

Questa non è certamente una risposta completa alla tua domanda, ma si spera che aiuti con la prima parte. Sembra esserci stato un certo interesse nell'usare algoritmi quantistici per identificare oracoli sconosciuti. Un esempio di questo è un recente articolo di Floess, Andersson e Hillery ( arXiv: 1006.1423 ) che adatta l'algoritmo Bernstein-Vazirani per identificare le funzioni booleane che dipendono solo da un piccolo sottoinsieme delle variabili di input (juntas). Usano questo approccio per determinare la funzione dell'oracolo per i polinomi di basso grado (trattano esplicitamente casi lineari, quadratici e cubici).