Sono piuttosto confuso dalla letteratura sull'ottimizzazione continua e dalla letteratura TCS su quali tipi di programmi matematici (continui) (MP) possano essere risolti in modo efficiente e quali no. La comunità di ottimizzazione continua sembra affermare che tutti i programmi convessi possono essere risolti in modo efficiente, ma credo che la loro definizione di "efficiente" non coincida con la definizione TCS.
Questa domanda mi ha infastidito molto negli ultimi anni e non riesco a trovare una risposta chiara. Spero che tu possa aiutarmi a risolverlo una volta per tutte: quali classi di parlamentari possono essere risolte esattamente in tempo polinomiale e con quali mezzi; e cosa si sa circa l'approssimazione della soluzione ottimale di parlamentari che non possiamo risolvere esattamente in tempi polinomiali?
Di seguito, do una risposta incompleta a questa domanda che potrebbe anche essere errata in alcuni punti, quindi spero che tu possa verificarmi e correggermi nei punti in cui mi sbaglio. Indica anche alcune domande alle quali non posso rispondere.
Sappiamo tutti che la programmazione lineare può essere risolta esattamente in tempo polinomiale, eseguendo il metodo ellissoide o un metodo a punti interni e successivamente eseguendo una procedura di arrotondamento. La programmazione lineare può anche essere risolta nel tempo polinomiale del numero di variabili quando si affronta una famiglia di LP con qualsiasi super quantità di vincoli lineari, purché si possa fornire un "oracolo di separazione" per esso: un algoritmo che, dato un punto , determina se quel punto è fattibile o genera un iperpiano che separa il punto dal poliedro di punti fattibili. Allo stesso modo, la programmazione lineare nel tempo polinomiale del numero di vincoli di fronte a una famiglia di LP con qualsiasi quantità super grande di variabili, se si fornisce un algoritmo di separazione per i doppi di questi LP.
Il metodo ellissoide è anche in grado di risolvere programmi quadratici in tempo polinomiale, nel caso in cui la matrice nella funzione obiettivo sia positiva (semi?) Definita. Sospetto che, usando il trucco dell'oracolo della separazione, in alcuni casi possiamo farlo anche se abbiamo a che fare con un numero incredibile di vincoli. È vero?
Ultimamente la programmazione semidefinita (SDP) ha guadagnato molta popolarità nella comunità TCS. È possibile risolverli fino a una precisione arbitraria utilizzando i metodi dei punti interni o il metodo ellissoide. Penso che gli SDP non possano essere risolti esattamente a causa del problema che le radici quadrate non possono essere calcolate esattamente. (?) Sarebbe quindi corretto se dico che esiste un FPTAS per SDP? Non l'ho visto da nessuna parte, quindi probabilmente non è giusto. Ma perché?
Siamo in grado di risolvere esattamente LP e SDP con precisione arbitraria. Che dire di altre classi di programmi conici? Possiamo risolvere i programmi dei coni del secondo ordine con precisione arbitraria, usando il metodo ellissoide? Non lo so.
Su quali classi di parlamentari possiamo usare il metodo ellissoide? Quali proprietà deve soddisfare un tale MP in modo tale che una risposta possa essere data a precisione arbitraria e quali proprietà aggiuntive sono necessarie per essere in grado di ottenere una soluzione esatta in tempo polinomiale? Stesse domande per i metodi di punti interni.
Oh, e infine, che cosa fa sì che gli ottimizzatori continui affermino che i programmi convessi possono essere risolti in modo efficiente? È vero che una risposta di precisione arbitraria a un programma convesso può essere trovata in un tempo polinomiale? Credo di no, quindi in quali aspetti la loro definizione di "efficiente" differisce dalla nostra?
Ogni contributo è apprezzato! Grazie in anticipo.