Permanente di una matrice e da determinanti

Sia una matrice o con le voci . Qualcuno può fornirmi una matrice modo che ? Qual è la esplicita più piccola conosciuta in modo tale che ? Qualche riferimento su questo con esempi espliciti? $A$ $3 \times 3$ $4 \times 4$ $a_{ij}$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$

Alcune restrizioni potrebbero essere i seguenti casi:

Caso $(1)$ Solo lineare funzionali sono consentiti come voci di $B$ .

Caso $(2)$ Sono consentiti funzionali non lineari a condizione che ogni termine abbia il massimo grado $O(log(n))$ (grado è la somma del grado di variabili) dove $n$ è la dimensione della matrice interessata. Nel nostro caso, fino al grado $2$ .

cc.complexity-theory algebraic-complexity permanent

— vs
fonte

@vs Quali sono le restrizioni su

B

$B$ ? Se non ce ne sono, allora

B = (\begin{matrix} per (A) \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix} \operatorname{per}(A)\end{pmatrix}$ è una matrice

1 \times 1

$1 \times 1$ con

det (B) = per (A)

$\det(B) = \operatorname{per}(A)$ , ma Immagino che non sia quello che avevi in mente. Tipicamente si permette le voci di

B

$B$ siano funzioni lineari affine delle variabili

A

$A$ .

— Tyson Williams,

[MODIFICARE]

Per coerenza, ho cambiato le notazioni da a . $c(n)$ $dc(n)$
Nei commenti di vs è stato chiesto se la mia risposta fosse generalizzata a dimensioni superiori. Fa e dà un limite superiore su qualsiasi campo: Vedi la mia bozza su questo: un limite superiore per il problema permanente contro determinante . $d c (n) \leq 2^{n} - 1.$ $dc(n)\le 2^n-1.$

[/MODIFICARE]

[Un commento a margine: penso che potresti modificare la tua domanda precedente invece di crearne una nuova.]

Ho la seguente risposta per te:

per (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = det (\begin{matrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Nota che cercando tali riferimenti su esempi espliciti, non sono riuscito a trovarne nessuno e quindi l'esempio che ti do è un esempio che ho creato.

Questa domanda che si pone è comunemente chiamata "Problema permanente o determinante". Supponiamo ci viene dato un della matrice , e vogliamo che la più piccola matrice tale che . Indichiamo con le dimensioni del più piccolo come . Ecco i risultati storici: $(n\times n)$ $A$ $B$ $\operatorname{per} A=\det B$ $dc(n)$ $B$

[Szegö 1913] $dc(n)\ge n+1$
[von zur Gathen 1986] $dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
[Cai 1990] $dc(n)\ge n\sqrt 2$
[Mignon & Ressayre 2004] 2/2 nella caratteristica $dc(n)\ge n^2/2$ $0$
[Cai, Chen e Li 2008] nella caratteristica . $dc(n)\ge n^2/2$ $\neq 2$

Ciò mostra che (il limite superiore è la matrice indicata sopra). $5\le dc(3)\le 7$

Dato che sono pigro, ti do solo un riferimento dove puoi trovare gli altri. È il documento più recente che ho citato, di Cai, Chen e Li: un limite inferiore quadratico per il problema permanente e determinante rispetto a qualsiasi caratteristica $\neq 2$ .

Se leggi il francese, puoi anche dare un'occhiata alle mie diapositive su questo argomento: Permanente contro Déterminant .

— Bruno
fonte

Grazie mille. Ho dimenticato di dire che avevo familiarità con i limiti inferiori lineari e quadratici. Il tuo esempio è nuovo per me e ovviamente guarderò le tue slide francesi :)

— vs

Per convertire una formula in un determinante, è un risultato (classico?) Di Valiant nel 1979. Spieghiamo questo risultato nel nostro articolo nella Sezione 2.1 (cfr. [ Arxiv.org/abs/1007.3804] ).

— Bruno,

Per , nota che esiste una costante in O (n2 ^ n) in modo che 24 non sia il valore corretto. Eppure penso che il mio esempio sia migliore della semplice applicazione della formula di Ryser + la costruzione di Valiant. Questo è abbastanza normale poiché si può immaginare che passare dal permanente a una formula e poi tornare a un determinante non sia il modo migliore di fare. Non direi che il mio esempio è "migliore di Ryser" poiché gli obiettivi non sono gli stessi. Nota anche che le formule di Glynn'sor Ryser non sono buone quanto la banale formula per , ma la battono solo asintoticamente.

n = 3

$n=3$

n = 3

$n=3$

— Bruno,

Ho dato un nuovo sguardo al documento di JY Cai. Il teorema 3 fornisce un limite migliore: .

c (n) \leq O (2^{n})

$c(n)\le O(2^n)$

— Bruno,

@Bruno: ottima risposta!

— Dai Le