I grafici edge-vertici degli espansori (decenti) dei polipetti?

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Questa domanda si ispira alla congettura polinomiale di Hirsch (PHC). Dato un facto polytope in , il gap spettrale del suo grafico edge-vertice (chiamalo ) è limitato da ? Si noti che il grafico del ciclo su vertici mostra che, anche per , il gap spettrale potrebbe essere piccolo quanto $n$ $P$ $\mathbb R^d$ $G$ $\Omega(1/\mathrm{poly}(n))$ $n$ $d=2$ $O(1/\mathrm{poly}(n))$ ; quindi il limite congetturato - se vero - sarebbe quasi stretto.

Una risposta affermativa implicherebbe il PHC. In realtà, ciò implicherebbe anche che i programmi lineari possano essere risolti in modo efficiente semplicemente camminando a caso sui vertici del politopo, e questo algoritmo non presta nemmeno molta attenzione alla funzione obiettivo! Sembra troppo bello per essere vero.

Quindi, qual è lo stato di questo problema: aperto (come PHC) o falso? Se falso, ci sono semplici controesempi?

Nota : mi sono appena reso conto delle solite complicazioni legate alla definizione degli espansori: non deve necessariamente essere regolare o bipartito. Spero che entrambi questi problemi tecnici possano essere superati utilizzando metodi standard e che, in particolare, non rendano la mia domanda banale. (Perfavore, correggimi se sbaglio!) $G$

co.combinatorics linear-programming expanders

— Srivatsan Narayanan
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Qualcuno può spiegare in che modo questa domanda è correlata ai nuovi limiti inferiori esponenziali per le regole di rotazione randomizzate per l'algoritmo simplex? Oliver Friedmann, Thomas Dueholm Hansen e Uri Zwick. 2011. Limiti inferiori esponenziali per regole di rotazione randomizzate per l'algoritmo simplex. In Atti del 43 ° simposio annuale ACM sulla teoria dell'informatica (STOC '11). ACM, New York, NY, USA, 283-292. DOI = 10.1145 / 1993636.1993675 doi.acm.org/10.1145/1993636.1993675

— Tyson Williams,

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Per i polipropoli 0/1 (tutte le coordinate del vertice sono 0 o 1), questo non è noto per essere vero. C'è una congettura di Mihail e Vazirani secondo cui l'espansione del bordo del grafico di un politipo 0/1 è almeno una. Ulteriori informazioni sono descritte in un articolo di Volker Kaibel .

Dovrei notare due cose. (1) Per 0/1-politopi, la congettura di Hirsch è vera . (2) Quando eseguiamo una camminata casuale sui vertici di un politopo, dobbiamo occuparci della possibile degenerazione. Un vertice può corrispondere a molte basi e quindi la camminata può rimanere allo stesso vertice se eseguiamo una camminata casuale sulle basi. Se vogliamo eseguire una passeggiata casuale sui vertici, dobbiamo disporre di una procedura che dia un vertice adiacente casuale.

— Yoshio Okamoto
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$n^{[d/2]}$

Ho dimostrato la separazione 1 / poli (n) per i polipropi "dal doppio al vicino". (Questo è stato il mio primo colpo alla congettura polinomiale di Hiresch. , 4, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991.

— Gil Kalai
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