Griglia

Aggiornamento : è ora noto il set di ostruzioni (ovvero la "barriera" NxM tra le dimensioni della griglia colorabili e non colorabili) per tutte le 4 colorazioni monocromatiche senza rettangolo .

Qualcuno ha voglia di provare 5 coloranti? ;)

La seguente domanda nasce dalla teoria di Ramsey .

Si consideri un -coloring del n -by- m grafico griglia. A esiste ogni volta che quattro celle dello stesso colore sono disposte come gli angoli di un rettangolo. Ad esempio, ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , e ( 1 , 0 ) formare un rettangolo monocromatica se hanno lo stesso colore. Allo stesso modo, ( 2 , 2 ) , ( 2 , 6 ) $k$$n$$m$monochromatic rectangle$(0,0), (0,1), (1,1),$$(1,0)$ e ( 3 , 2 ) formano un rettangolo monocromatico, se colorato con lo stesso colore.$(2,2), (2,6), (3,6),$$(3,2)$

Domanda : esiste un -coloring del 17 -by- 17 grafico griglia che non contiene un rettangolo monocromatica? In tal caso, fornire la colorazione esplicita.$4$$17$$17$

Alcuni fatti noti:

• -by- 17 è 4- colorabile senza un rettangolo monocromatico, ma lo schema di colorazione noto non sembra estendersi alcaso 17 -by- 17 . (Sto omettendo la notacolorazione 16 -by- 17 perché molto probabilmente sarebbe un'aringa rossa per decidere 17 -by- 17 .) $16$$17$ $4$$17$$17$$16$$17$$17$$17$
• -by- 19 NONè 4 -colorable senza un rettangolo monocromatico. $18$$19$ $4$
• -by- 18 e 18 -by- 18 sono anche casi sconosciuti; anche una risposta a queste sarebbe interessante. $17$$18$$18$$18$

Disclaimer: Bill Gasarch ha una taglia di $ 289 (USD) su una risposta positiva a questa domanda; puoi raggiungerlo attraverso il suo blog. Una nota sull'etichetta: mi assicurerò che conosca la fonte di qualsiasi risposta corretta (se dovesse presentarsi).

Lo ha ripreso durante una sessione di groppa a Barrier II, e lo trovo interessante, quindi sto inoltrando la domanda qui (a sua insaputa; anche se dubito fortemente che gli dispiacerebbe).

Alcuni di voi probabilmente ne sono a conoscenza, ma il problema di colorazione 17 x 17 è stato risolto da Bernd Steinbach e Christian Posthoff. Vedi il post sul blog di Gasarch qui .

Questa non è in realtà una risposta alla domanda, ma ho codificato il problema della colorazione 4x 17x17 come 4-CNF (nel formato DIMACS standard per solutori SAT) e l'ho caricato qui . Se qualcuno ha accesso a un buon solutore SAT (e un supercomputer!) Forse possiamo fare qualche progresso.

Nota: nella mia codifica, se al punto griglia viene assegnato il colore c ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } , la variabile ( 17 i + j + 289 c + 1 ) assume il valore 1 e 0 altrimenti .$(i,j)$$c \in \{0,1,2,3\}$$(17i+j+289c+1)$$1$$0$

Anche questa non è una vera risposta. Certamente il problema qui è la presenza di un numero astronomico di simmetrie, che ingannano anche i migliori solutori SAT sui migliori supercomputer. Tali simmetrie mappano soluzioni a soluzioni e non soluzioni a non soluzioni: in questo caso probabilmente esiste un numero immenso di quasi soluzioni (ovvero assegnazioni che soddisfano tutte tranne una piccola quantità di clausole), ognuna delle quali può essere ottenuta da qualsiasi altra applicando una corretta simmetria. Quindi il risolutore spreca una quantità enorme di tempo a provare ciascuna di queste quasi-soluzioni, mentre in un certo senso sono tutti uguali.

Lo sfruttamento delle simmetrie (vedi questo documento) dovrebbe essere una strada da esplorare per attaccare questa dura istanza 17x17 e fare qualche progresso su di essa. Mi chiedo se qualcuno abbia già provato a farlo.

Ancora una volta, non una vera risposta, ma comunque, ecco alcuni pensieri sull'adozione di algoritmi di colorazione dei grafici per questo problema.

Diciamo che un insieme di posizioni della griglia è un insieme indipendente se l'insieme I non contiene tutti e quattro gli angoli di un rettangolo. Definire un set indipendente massimo nel modo ovvio. Ora le seguenti sono affermazioni equivalenti:$I$$I$

1. Lagriglia n -by- m può essere colorata con k colori.$n$$m$$k$
2. Lagriglia n -by- m può essere coperta con k set indipendenti.$n$$m$$k$
3. Lagriglia n -by- m può essere coperta con k set massimi indipendenti.$n$$m$$k$

$\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$$k^{mn}$$2^{289}$

Se la famiglia di tutti gli insiemi (massimi) indipendenti ha una struttura sufficientemente bella, potrebbe anche essere possibile mettere a punto l'algoritmo del prodotto di copertura.

La griglia 21x12 è a 4 colori senza rettangoli monocromatici !!!

Vedi l' ultimo post di Bernd Steinbach sul blog di Gasarch !

Questo è Bill Bouris. Ciao Dan. Sto lavorando a un programma che cerca una matrice 17x17 adatta che mostri colorazione no-4 secondo la teoria di Ramsey. Uso una matrice posizionale che descrive tutte le connessioni tra i punti e fisso la diagonale principale e consento alla riga superiore della matrice di attraversare tutte le possibili combinazioni 16choose8; Catturo solo le matrici che passano per quanto riguarda i seguenti criteri ... no-XRRR, no-RXRR, no-RRXR, no-RRRX, no-XBBB, no-BXBB, ecc., Quindi faccio scorrere la matrice usando la matrice successiva criteri più deboli ... no-XBRR, noBXRR, no-BBXR, no-BBRX, no-XRBB, no-RXBB, ecc. per un totale di 32 passaggi fino a quando il computer riempie automaticamente la colorazione. Ho notato che esiste un possibile candidato per ogni 400 matrici su un totale di 12780 e sono necessarie 0,95 ore per trovare il candidato o 1 per ogni 8. 644 secondi. Sta arrivando, ma non ho molto tempo per programmarlo ... mentre lavoro a tempo pieno. Dovremmo lavorare insieme ... Potrei usare $ 289,00!