Una categoria ha biprodotti quando gli stessi oggetti sono sia i prodotti che i coprodotti. Qualcuno ha studiato la teoria della prova delle categorie con i biprodotti?
Forse l'esempio più noto è la categoria di spazi vettoriali, in cui la somma diretta e le costruzioni dirette del prodotto danno lo stesso spazio vettoriale. Ciò significa che gli spazi vettoriali e le mappe lineari sono un modello leggermente logico della logica lineare, e sono curioso di sapere come sarebbe una teoria dei tipi che accetta questa degenerazione.
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Forse Cockett e Seely? Forse Introduzione a Linear Bicategories o qualcos'altro da math.mcgill.ca/~rags .
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Dave Clarke,
Forse il "bi-" in "bi-prodotti" è fuorviante: non è qualcosa di 2 categoriale, è proprio quello che succede quando gli stessi oggetti sono sia prodotti che coprodotti (oltre ad alcune condizioni di coerenza) in categorie ordinarie.
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Neel Krishnaswami,
Forse il loro articolo: FINITE SUM - LOGICA DEL PRODOTTO.
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Dave Clarke,
Leggermente degenerato? Credo che identificare prodotti e coprodotti implichi l'identificazione dell'oggetto iniziale e terminale, che sono tipicamente tipi vuoti e singleton, interpretati rispettivamente come banale falsità e verità. Nella logica lineare penso che questo faccia collassare l'intera metà additiva della logica in una duplice operazione con un'identità che annulla entrambe le moltiplicazioni. D'altra parte, il frammento moltiplicativo tende ad essere la metà più costruttiva della logica lineare, quindi forse questo porta a qualcosa di interessante ...
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CA McCann
@camccann: c'è matematica fuori dalla logica. Nell'algebra commutativa in genere l'oggetto iniziale e terminale concordano, così come i prodotti e i coprodotti. Ad esempio, il banale gruppo abeliano è sia iniziale che terminale. Un oggetto che è sia iniziale che terminale è chiamato oggetto zero. Dai un'occhiata alle categorie abeliane per avere un po 'di intuizione su come tutto questo funziona.
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Andrej Bauer,