Esistono numerosi problemi nella teoria della rappresentazione combinatoria e nella geometria algebrica per i quali non è nota alcuna formula positiva. Ci sono molti esempi a cui sto pensando, ma lasciatemi prendere come esempio il calcolo dei coefficienti di Kronecker . Di solito, la nozione di "formula positiva" non è definita con precisione in combinatoria, ma significa approssimativamente "una descrizione come la cardinalità di un insieme ragionevolmente esplicito". Di recente ho parlato con Jonah Blasiak e mi ha convinto che la giusta definizione di "formula positiva" è #P . Presumo che, su questo sito, non ho bisogno di definire #P.
Buergisser e Ikenmeyer mostrano che i coefficienti di Kronecker sono #P difficili. (Sono anche sempre positivi, perché sono molteplicezze del prodotto tensore.) Ma sono ragionevolmente sicuro che nessuno conosca un modo di elaborarli che li porti persino in #P.
Quindi, supponiamo che dovessi effettivamente tentare di dimostrare che i coefficienti di Kronecker non sono in #P. Presumo che ciò che farei sia assumere congetture teoriche di complessità e quindi ridurre il prodotto Kronecker a qualche altro problema che è noto per essere completo per una classe superiore a #P.
Quale congettura potrei assumere e a quale problema potrei provare a ridurre?
AGGIUNTO: Come è stato sottolineato nei commenti, Buergisser e Ikenmeyer mostrano che i coefficienti di Kronecker sono in Gap-P, che è abbastanza vicino a #P. Quindi sembra che le domande che dovrei porre siano (1) Quali sono alcuni problemi completi di Gap-P che potrei plausibilmente ridurre e (2) quali sono le prospettive di mostrare che Gap-P non è #P? Immagino che (2) dovrebbe dividersi in due parti (2a) gli esperti ritengono che queste classi siano diverse? e (2b) ci sono delle possibili strategie per dimostrarlo?
Spero che questa modifica della domanda non venga disapprovata.