La prova di Barendregt di riduzione del soggetto per

Ho riscontrato un problema nella prova di riduzione del soggetto di Barendregt (Thm 4.2.5 dei calcoli Lambda con i tipi ).

L'ultimo passaggio della prova (pagina 60) dice:

"e quindi da Lemma 4.1.19 (1), ." $\quad\Gamma,x:\rho\vdash P:\sigma'$

Tuttavia, secondo Lemma 4.1.19 (1) dovrebbe essere , poiché la sostituzione viene effettuata all'intero contesto, non solo a . $\Gamma[\vec{\alpha}:=\vec{\tau}],x:\rho\vdash P:\sigma'$ $x:\rho'$

Immagino che la soluzione standard potrebbe essere quella di dimostrare in qualche modo che , ma non sono sicuro di come. $\vec{\alpha}\notin FV(\Gamma)$

Ho avuto una prova che la semplificava rilassando il lemma della generazione delle astrazioni, ma recentemente ho scoperto che c'era un errore e la mia prova è sbagliata, quindi non sono più sicuro di come risolvere questo problema.

Qualcuno può dirmi cosa mi manca qui?

— Alejandro DC
fonte

Barendregt assume la cosiddetta convenzione variabile, che i nomi delle variabili legati e nomi delle variabili libere sono standardizzati a parte , vale a dire, abbiamo implicitamente per scontato che essi sono diversi (usando -Conversione Forse questo aiuta..

α

$\alpha$

— Dave Clarke

Grazie per la tua risposta. Tuttavia, non risolve il problema. Arriva a usando Lemma 4.1.19 (1) nel modo seguente: abbiamo e sappiamo che e , quindi usando quel lemma, può fare la stessa sostituzione nel contesto e il tipo inferito allo stesso tempo ... ma sostituisce solo su x: \ rho ', no tutto il contesto! E questo è il mio problema ...

Γ, x : ρ ⊢ P : σ^{'}

$\Gamma,x:\rho\vdash P:\sigma'$

Γ, x : ρ^{'} ⊢ P : σ^{″}

$\Gamma,x:\rho'\vdash P:\sigma''$

ρ^{'} [\vec{α} := \vec{τ}] = ρ

$\rho'[\vec{\alpha}:=\vec{\tau}]=\rho$

σ^{″} [\vec{α} := \vec{τ}] = σ^{'}

$\sigma''[\vec{\alpha}:=\vec{\tau}]=\sigma'$

— Alejandro DC,

Penso ancora che ci sia un'imprecisione nel modo in cui usa il lemma. Tuttavia c'è una soluzione (devo ringraziare Barbara Petit che è venuta con la soluzione).

In effetti, la soluzione deriva dalla definizione di (def. 4.2.1), che è moralmente questa: $\geq$

$\sigma>\rho\quad$ if $\quad\dfrac{\Gamma\vdash P:\sigma}{\Gamma\vdash P:\rho}$

Tuttavia, invece di definirlo in quel modo, definisce la relazione solo in termini di tipi. Il vantaggio nel definirlo in termini di sequenze è che possiamo dedurre che se , allora , che è esattamente ciò di cui ha bisogno nella dimostrazione (e da dove viene l'imprecisione). $\sigma>\forall\alpha.\sigma$ $\alpha\notin FV(\Gamma)$

— Alejandro DC
fonte

Ho usato questa tecnica in un'estensione del Sistema F per il calcolo lambda-algebrico lineare. L'articolo con tutti i dettagli della prova è apparso oggi in LMCS 8 (1:11) .

— Alejandro DC,