Minori proibiti per i grafici limitati della larghezza degli alberi

Questa domanda è simile a una delle mie precedenti domande. È noto che è un minore proibito per i grafici della larghezza degli alberi al massimo t .$K_{t+2}$$t$

Esiste una famiglia infinita di grafici ben strutturati, parametrizzati (diversi dai grafici completi e dai grafici a griglia) che sono minori proibiti minimi per i grafici di ogni larghezza degli alberi. In altre parole, v'è un grafo esplicito a r vertici (che non è un grafico completo) tale che G r è minorenne vietate per grafici di treewidth al massimo r , dove r è una funzione di t ?$G_r$$r$$G_r$$r$$r$$t$

Le serie complete di minori proibiti sono note per i grafici della larghezza degli alberi al massimo tre. Vedi questo articolo di Wikipedia per maggiori dettagli.

È noto il set completo di minori proibiti di grafici di larghezza degli alberi al massimo quattro?

Se G è formato da un grafico più piccolo H che non è una cricca aggiungendo due vertici xey, in modo tale che xey non siano adiacenti tra loro ma adiacenti a tutti gli altri vertici di G, allora . Infatti, in qualsiasi struttura di scomposizione di G , sia x ed y hanno sottostrutture disgiunti o hanno sottoalberi sovrapposti. Se hanno sottoalberi disgiunti, tutte le altre sottostrutture devono includere il percorso più breve tra gli alberi di x ed y , da cui risulta che il treewidth è n - $tw(G)=tw(H)+2$$G$$x$$y$$x$$y$$n-2$; l'assunto che non è una cricca può quindi essere usato per mostrare che n - 2 ≥ t w ( H ) + 2 . In alternativa, se x ed y sono sovrapposte sottoalberi, ogni altro vertice deve avere una sottostruttura che sfiora l'incrocio dei due sottoalberi di x ed y , e si può limitare la decomposizione albero a tale intersezione, dando una decomposizione albero in cui x ed y partecipare a ogni nodo dell'albero.$H$$n-2\ge tw(H)+2$$x$$y$$x$$y$$x$$y$

Ciò implica che il grafico ipercottaedrico con nodi da 2 k è un minimo minimo proibito per larghezza 2 k - 3 . Infatti, il grafico ottaedrico K 2 , 2 , 2 è un minimo minimo proibito per la larghezza tre, da cui l'argomento sopra mostra che il grafico iperottaedrico ha larghezza 2 k - $K_{2,2,2,\dots}$$2k$$2k-3$$K_{2,2,2}$$2k-2$. E se una qualsiasi contrazione del bordo o cancellazione del bordo viene eseguita nel grafico iperottaedrico, le simmetrie del grafico ci consentono di presumere che l'operazione stia accadendo a uno dei dodici bordi nell'ottaedro di base, causando la sua larghezza e la larghezza di tutti gli ipercottaedri costruito da esso per diminuire.

(L'altra classe di grafici che dovresti includere nella tua domanda insieme ai grafici completi sono i grafici a griglia. Una griglia ha la larghezza dell'albero r . È separata dai grafici completi minori perché è planare e quindi non ha un minore completo con più di quattro vertici. Non è un minimo proibito, tuttavia, perché alcuni piccoli cambiamenti (come la contrazione dei vertici degli angoli) non ne modificano la larghezza.$r\times r$$r$

In Sparse ostruzioni e l'esatta determinazione della larghezza degli alberi , Lucena afferma che nella tesi di dottorato di Sanders "vengono dati 75 o meno minori proibiti per la larghezza degli alberi , e si ritiene che non sia dimostrato che ciò possa costituire l'intero insieme di ostruzioni".$\leq 4$