Disuguaglianza di tipo Chernoff per variabili casuali indipendenti in coppia


13

Le disuguaglianze di tipo Chernoff sono usate per mostrare che la probabilità che una somma di variabili casuali indipendenti si discosti significativamente dal suo valore atteso è esponenzialmente piccola nel valore atteso e nella deviazione. Esiste una disuguaglianza di tipo Chernoff per qualsiasi somma di variabili casuali indipendenti a coppie ? In altre parole, c'è un risultato che mostra quanto segue: la probabilità che una somma di variabili casuali indipendenti a coppie differisca dal suo valore atteso è esponenzialmente piccola nel valore atteso e nella deviazione?

Risposte:


17

L'indipendenza a coppie non è sufficiente per un tipo Chernoff legato alle aspettative.

Ciò deriva dal fatto che ci sono spazi campionari -Size su n 0-1 variabili casuali, dove tutte le variabili indipendenti coppie, e ciascuno è variabile è uniforme (è 1 con probabilità 1 / 2 ). Quindi il valore atteso della loro somma è n / 2 . Ma perché ci sono solo p o l y ( n ) possibili eventi spazio campione, anche la probabilità che una somma è esattamente un particolare valore v è almeno 1 / p opoly(n)n11/2n/2poly(n)v (quindi, non può essere al massimo 1 / e x p ( n ) ).1/poly(n)1/eXp(n)

Per un riferimento a questa costruzione dello spazio di esempio, vedere le pagine 11-12 in questo sondaggio .


Immagino che dipenda da cosa intendi con un limite di tipo "chernoff";)
Suresh Venkat,

1
Intendo esattamente cosa pone la domanda ...
Ryan Williams,

13

Se hai indipendenza a coppie, puoi limitare la varianza della somma e quindi ottenere una concentrazione legata usando la disuguaglianza di Chebyshev.


4
Ma questo non è "tipo Chernoff", no?
Arnab,

1
Ho pensato che la persona che ha posto la domanda potrebbe essere interessata a qualsiasi limite di concentrazione possano ottenere.
Dana Moshkovitz,

Utilizzando il nostro sito, riconosci di aver letto e compreso le nostre Informativa sui cookie e Informativa sulla privacy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.