Disuguaglianza di tipo Chernoff per variabili casuali indipendenti in coppia

Le disuguaglianze di tipo Chernoff sono usate per mostrare che la probabilità che una somma di variabili casuali indipendenti si discosti significativamente dal suo valore atteso è esponenzialmente piccola nel valore atteso e nella deviazione. Esiste una disuguaglianza di tipo Chernoff per qualsiasi somma di variabili casuali indipendenti a coppie ? In altre parole, c'è un risultato che mostra quanto segue: la probabilità che una somma di variabili casuali indipendenti a coppie differisca dal suo valore atteso è esponenzialmente piccola nel valore atteso e nella deviazione?

L'indipendenza a coppie non è sufficiente per un tipo Chernoff legato alle aspettative.

Ciò deriva dal fatto che ci sono spazi campionari -Size su n 0-1 variabili casuali, dove tutte le variabili indipendenti coppie, e ciascuno è variabile è uniforme (è 1 con probabilità 1 / 2 ). Quindi il valore atteso della loro somma è n / 2 . Ma perché ci sono solo p o l y ( n ) possibili eventi spazio campione, anche la probabilità che una somma è esattamente un particolare valore v è almeno 1 / p $poly(n)$$n$$1$$1/2$$n/2$$poly(n)$$v$ (quindi, non può essere al massimo 1 / e x p ( n ) ).$1/poly(n)$$1/exp(n)$

Per un riferimento a questa costruzione dello spazio di esempio, vedere le pagine 11-12 in questo sondaggio .

Se hai indipendenza a coppie, puoi limitare la varianza della somma e quindi ottenere una concentrazione legata usando la disuguaglianza di Chebyshev.

Ci sono tutti i tipi di risultati di questo tipo nel libro Dubhashi-Panconesi . Un riferimento standard di questo tipo è l'opera del 1993 di Schmidt, Siegel e Srinivasan intitolata (abbastanza appropriatamente) " Limiti di Chernoff-Hoeffding per applicazioni con indipendenza limitata "