Complessità del circuito monotono delle funzioni di calcolo su ingressi sparsi

Il peso $|x|$ di una stringa binaria $x\in\{0,1\}^n$ è il numero di quelli nella stringa. Cosa succede se siamo interessati a calcolare una funzione monotona su input con pochi?

Sappiamo che decidere se un grafico ha un $k$ -clique è difficile per i circuiti monotoni (vedi tra gli altri Alon Boppana, 1987), ma se un grafico ha ad esempio al massimo $k^3$ bordi è possibile trovare un circuito di profondità limitato monotono di dimensioni $f(k)\cdot n^{O(1)}$ che decide $k$ -clique.

La mia domanda: c'è qualche funzione che è difficile da calcolare da un circuito monotono anche su ingressi di peso inferiore a $k$ ? Qui duro significa circuito $n^{{k}^{\Omega(1)}}$ .

Ancora meglio: esiste una funzione monotona esplicita che è difficile da calcolare anche se ci preoccupiamo solo degli input di peso $k_1$ e $k_2$ ?

Emil Jeřábek ha già osservato che valgono limiti inferiori noti per i circuiti monotoni che separano due classi di input ( grafici $a$ -cliques vs massimi $(a-1)$ -colorabili), quindi a costo di una certa indipendenza nell'argomento probabilistico è possibile farcela lavorare per due classi di input di peso fisso. Ciò farebbe sì che $k_2$ fosse una funzione di $n$ che voglio evitare.

Ciò che vorrebbe davvero è una funzione esplicita per $k_1$ e $k_2$ molto più piccola di $n$ (come nel quadro della complessità parametrizzata). Ancora meglio se $k_1=k_2+1$ .

Si noti che una risposta positiva per $k_1=k_2$ implicherebbe un limite inferiore esponenziale per circuiti arbitrari.

Aggiornamento : questa domanda potrebbe essere parzialmente pertinente.

— MassimoLauria
fonte

Alla tua prima domanda (generale) (non su Clique). Penso che anche il caso degli input con al massimo

sia molto difficile. Prendete un bipartito

grafo

con

. Assegna a ciascun vertice

una variabile booleana

. Let

una funzione booleana monotona cui mintermini sono

per i bordi

. Let

2

$2$

n \times m

$n\times m$

G

$G$

m = o (n)

$m=o(n)$

u

$u$

x_{u}

$x_u$

f_{G} (x)

$f_G(x)$

x_{u} \land x_{v}

$x_u\land x_v$

u v

$uv$

G

$G$

è la dimensione minima di un circuito monotono che calcola correttamente

sugli ingressi con

. Quindi qualsiasi limite inferiore

per una costante

implicherebbe unlimite inferioreesponenzialepercircuitinon monotone.

s (G)

$s(G)$

f_{G}

$f_G$

\leq 2

$\leq 2$

s (G) \geq (2 + c) n

$s(G)\geq (2+c)n$

c > 0

$c>0$

— Stasys,

≫ n / 2

$\gg n/2$

\exp (min {a, n / b}^{1 / 4})

$\exp(\min\{a,n/b\}^{1/4})$

b

$b$

a

$a$

a < b

$a<b$

k

$k$

n^{k}

$n^k$

k \geq 3

$k\geq 3$

(n - k)

$(n-k)$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$ per ogni costante .

k

$k$

— Stasys,

Dovrei chiarire che mi preoccupo degli input sparsi nel senso del grafico sparse. La ricerca di un -clique in un grafico molto scarno (con la dicitura spigoli) può essere eseguita con dimensioni del circuito monotono FPT.

k

$k$

k^{10}

$k^{10}$

— MassimoLauria,

Il tuo esempio nel primo commento è molto bello. Se ho capito bene questo è un problema simile con le funzioni monotone che sono difficili su un peso fisso . Utilizzando le funzioni di pseudo complemento per simulare gli ingressi negati, la complessità del circuito non differisce tra caso monotono e non monotono. Per costante (o piccolo) questo pseudo complemento può essere implementato in modo efficiente da un circuito monotono.

k

$k$

k

$k$

— MassimoLauria,

il mio primo commento si basava sulla complessità del grafico. Il fenomeno " " è riportato a pagina 13 di questo progetto . A proposito, non ho capito bene cosa intendi per essere "difficile per k e k + 1"? (Colpa mia, ovviamente.)

(2 + c) n

$(2+c)n$

— Stasys

in particolare considerando una parte della domanda (ad esempio per = 1, = 2), Lokam ha studiato le funzioni "2 sezioni" in questo documento e dimostra che è possibile generalizzare forti limiti inferiori su di essi, quindi questo è un problema molto difficile in relazione alla separazione delle classi di complessità di base e qualsiasi tale costruzione / funzione esplicita sarebbe una svolta; dall'abstract: $k_1$ $k_2$

Una funzione booleana f viene chiamata funzione a 2 sezioni se viene valutata su zero con input con meno di due 1 e viene valutata con una su input con più di due 1. Su input con esattamente due 1 di f può essere definito in modo non banale. Esiste una corrispondenza naturale tra funzioni e grafici a 2 sezioni. Usando il quadro della complessità del grafico, mostriamo che limiti inferiori monotoni superlineari sufficientemente forti per la classe molto speciale di funzioni a 2 sezioni implicherebbero limiti inferiori superpolinomiali su una base completa per determinate funzioni da essi derivate.

Complessità grafica e funzioni Slice / Satyanarayana V. Lokam, Theory Comput. Systems 36, 71–88 (2003)

anche come nei suoi commenti SJ tratta questo caso simile nel suo libro nella sezione che esplora la complessità stellare dei grafici sec1.7.2.

Complessità della funzione booleana: progressi e frontiere , Stasys Jukna

— VZN
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