Esiste una versione continua del teorema della ripetizione parallela

Il teorema della pretesa parallela di Raz è un risultato importante nel PCP, nell'approssimazione, ecc. Il teorema è fomalizzato come segue.

S , T , A , B$G=(\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B},\pi, V)$$\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$$\pi$$\mathcal{S}\times\mathcal{T}$$V:\mathcal{S}\times\mathcal{T}\times\mathcal{A}\times\mathcal{B}\rightarrow\{0,1\}$n G n = ( S n , T n , A n , B

$$v(G)=\max_{h_A\in\mathcal{H}_A,h_B\in\mathcal{H}_B}\sum_{s,t}\pi(s,t)V(s,t,h_A(s),h_B(t))$$ $n$$G^n=(\mathcal{S}^n,\mathcal{T}^n,\mathcal{A}^n,\mathcal{B}^n,\pi^n, V^n)$$v(G)\leq 1-\epsilon,$ quindi .$v(G^n)\leq (1-\epsilon^c)^{\Omega(\frac{n}{\log\max\{|A|,|B|\}})}$

La mia domanda è cosa succede se gli insiemi sono infiniti, in uno spazio continuo. Dì se $\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$ sono sottoinsiemi di uno spazio, diciamo $R^n$ , o più spazi astratti. Tutto il resto è uguale. Il teorema di Raz fornisce solo un banale limite superiore $1$ poiché le dimensioni dei set di risposte sono infinite. Ovviamente il valore $n$ -fold è limitato da una singola copia. La diminuzione esponenziale si verifica anche in caso continuo? Sarebbe più interessante limitare $\mathcal{H}_A,\mathcal{H}_B$ ad essere raccolte di funzioni continue o funzioni $C^{\infty}$ o funzioni misurabili?

La diminuzione esponenziale si verifica anche in caso continuo?

No. Feige e Verbitsky [FV02] hanno mostrato che per ogni n esiste un gioco G (con serie finite di domande e risposte) tale che v ( G ) ≤3 / 4 e v ( G ⁿ ) ≥1 / 8. Poiché la tua formulazione generalizza i giochi con serie finite di domande e risposte di qualsiasi dimensione, la ripetizione parallela (di qualsiasi fine finemente) non può ridurre il valore di un gioco da 3/4 a 1/8.

[FV02] Uriel Feige e Oleg Verbitsky. Riduzione dell'errore mediante ripetizione parallela: un risultato negativo. Combinatorica , 22 (4): 461–478, ottobre 2002. doi: 10.1007 / s00493-002-0001-0 .