Calcolo di set max senza H


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In un grafico, un insieme indipendente è un sottoinsieme di vertici che non contiene un bordo come un sottografo indotto. Il problema di trovare i più grandi insiemi indipendenti in un grafico è una questione algoritmica fondamentale, e difficile a questo. Consideriamo la domanda più generale di trovare (la dimensione di) un più grande insieme privo di H in un grafico, dove H-libero significa che non induce un sottografo che contiene una copia del grafico fisso H come un sottografo indotto.

Per il grafico fisso H, dato il grafico di input G, NP è difficile determinare la dimensione di un più grande set privo di H in G?

Esiste un modo sensato per costruire una "tabella" di grafici H (o classi di H), in modo da compilare le voci con risposte sì o "no" corrette alla domanda sopra? (Facciamo finta che "no" = P, e anche che una voce "no" significhi che esiste un algoritmo polytime per generare un set più grande di H).

In caso contrario, ci sono classi non banali di H per le quali la risposta è sì? ... no?

Stavo scavando in giro, esaminando due domande su numeri cromatici generalizzati / privi di H --- qui e qui --- quando mi venne in mente che il (apparentemente più semplice) problema "doppio" di un analogo H-libero del numero di indipendenza potrebbe anche essere aperto. Sono a conoscenza di articoli classici su un problema correlato per i grafici casuali, cfr. per esempio Erdos, Suen e Winkler (1995) o Bollobas e Thomason (2000), che fanno parte di una linea di ricerca ancora molto attiva. Quindi forse c'è già qualche lavoro che non ho ancora visto affrontare questa domanda più elementare e che non è stata scoperta una ricerca approssimativa su Internet (da cui il tag di richiesta di riferimento).


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Se k e H sono entrambi fissi, allora puoi semplicemente enumerare tutti i sottoinsiemi di vertici di dimensione k e verificare se contengono H come sottografo indotto. Questo sarà un algoritmo temporale polinomiale.
Robin Kothari,

scusa per la stupidità: modifica per rimuovere tutte le istanze di k!
RJK,

Risposte:


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Supponiamo che abbia almeno due vertici. La famiglia di tutti i grafici privi di H è ereditaria su sottografi indotti e la proprietà di essere priva di H è non banale, dove una proprietà è non banale se è vera per infiniti grafici ed è falsa per infiniti grafici. Pertanto, si applica il risultato di Lewis e Yannakakis [1], dimostrando che per tutte le H con almeno due vertici, il problema è NP-completo.HHHH

[1] John M. Lewis, Mihalis Yannakakis: il problema della cancellazione dei nodi per le proprietà ereditarie è NP-completo. J. Comput. Syst. Sci. 20 (2): 219-230 (1980)


Spot on! Grazie per il riferimento! Forse questo tipo di approccio potrebbe anche essere (è stato?) Applicato per il problema della partizione?
RJK,

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Non seguo il ragionamento qui. Il problema è NP-difficile anche quando H non ha bordi, purché H abbia almeno due vertici.
András Salamon,

HH

Questa risposta (revisione 2) si riferisce al problema di trovare il sottografo indotto più grande che non contiene H come sottografo . Il risultato di Lewis e Yannakakis si applica al problema di trovare il più grande sottografo indotto che non contiene H come sottografo indotto , ma la condizione su H affinché la proprietà sia non banale è diversa.
Tsuyoshi Ito,

HH
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