Qual è la differenza tra proposizioni e giudizi?

Sono confuso dalla sottile differenza tra proposizioni e giudizi quando esposto alla teoria del tipo intuizionista. Qualcuno può spiegarmi qual è il punto di distinguerli e cosa li distingue? Soprattutto in vista dell'isomorfismo di Curry-Howard.

Innanzitutto, dovresti sapere che, in generale, non c'è consenso su questi termini e le loro definizioni dipendono dal sistema in cui si sta lavorando. Da quando hai chiesto la teoria del tipo intuizionista, citerò Pfenning:

Un giudizio è qualcosa che possiamo sapere, cioè un oggetto di conoscenza. Un giudizio è evidente se in effetti lo sappiamo.

Le proposte d'altro canto, secondo Martin-Löf, sono una serie di prove. In questa interpretazione, se l'insieme delle prove per una proposizione è vuoto, allora è falso e altrimenti vero.

Una proposizione viene interpretata come un insieme i cui elementi rappresentano le prove della proposizione

dice Nordström et al. D'altra parte, nella logica classica e in generale, le proposizioni sono oggetti espressi in un linguaggio che può essere "vero" o "falso".

Per darti qualche intuizione in più; dal mio punto di vista, i giudizi sono metalogici e proposizioni logiche.

Suggerisco "Logica costruttiva" di Frank Pfenning , "Prove e tipi" di Jean-Yves Girard e "Programmazione nella teoria dei tipi di Martin-Löf" di Bengt Nordström et al. Tutti e tre sono disponibili gratuitamente su Internet. L'ultimo è probabilmente il più vicino a ciò che vuoi in quanto è orientato alla programmazione e approfondisce, a lungo, i significati di questi termini e molti altri.

Forse posso provare a dare una risposta meno metafisica.

C'è una lingua, una lingua logica, che stiamo studiando. In questo linguaggio, ci sono cose chiamate "proposizioni" che dovrebbero essere cose vere o false.

Esiste un meta-linguaggio, che è anche un linguaggio logico, in cui stiamo cercando di spiegare quali cose nella lingua di base sono vere o false. Le dichiarazioni che facciamo in questo meta-linguaggio sono chiamate "giudizi".

Si noti che tutte le proposizioni della lingua di base hanno lo stato dei dati nella meta-lingua. Sono buoni come le stringhe. Non puoi chiedere a una stringa se è vera o falsa. Un giudizio è l'interprete che interpreta la stringa come una proposizione e decide se è vera o falsa.

Cercherò di essere breve dove altre risposte erano più esaustive. C'è una differenza tra un pezzo di testo che dice "Il maggiordomo l'ha fatto." e la signora Marple proclamò "Il maggiordomo lo fece." Nel secondo caso, il maggiordomo potrebbe perdere la libertà.

Nelle teorie di tipo Martin-Löf , i giudizi fanno parte degli atti linguistici . Esistono quattro (o cinque giudizi secondo Wikipedia):

• $A \ \mathsf{Type}$ ( è un tipo / set / proposizione),$A$
• $s : A$ ( è un membro / prova di ),$s$$A$
• $s=t : A$ ( e sono membri pari / prove ),$s$$t$$A$
• $A=B$ ( e sono tipi / insiemi / proposizioni uguali),$A$$B$
• $\Gamma \ \mathsf{Context}$ ( è un contesto ben formato).$\Gamma$

Per capire cosa significhi, dobbiamo tornare a Frege. Il simbolo del tornello di Frege è un discorso-atto. Si afferma il contenuto (che lo segue ed è un giudizio). Nelle teorie di tipo Martin-Löf abbiamo i quattro (cinque?) Giudizi sopra elencati. In queste teorie, le proposizioni sono solo tipi.$\vdash$

Supponiamo che sia una proposta. Quindi è un tipo. Supponiamo che è un termine di tipo . Quindi è un giudizio (puoi pensarlo come è una prova di ). Ora possiamo affermare che è il caso, in questo caso usiamo .$A$$A$$t$$A$$t : A$$t$$A$$\vdash t:A$

Aggiungerei "Fondamenti della matematica costruttiva" di Michael Beeson ai suggerimenti nella risposta di Anthony. Martin-Löf ha tenuto diversi discorsi che spiegano molto bene la sua teoria, ma sfortunatamente la maggior parte di loro non si è trasformata in una forma pubblicata da lui (ma controlla questo sito ).

I giudizi sono la composizione di due cose:

1. Una proposta ; e$P$
2. Un atteggiamento proposizionale - questo è ciò che i filosofi lo chiamano, cfr. rapporti di atteggiamento proposizionale che legano gli atteggiamenti proposizionali agli atti del discorso di cui parla Kaveh;$\cal A$

dando il modulo di base . Sintassi più complesse sono possibili se consentiamo giudizi proposizionali multi-arity.${\cal A} [P]$

Le formulazioni usuali della logica del primo ordine richiedono solo un atteggiamento proposizionale, che di solito è " è un teorema" o il giudizio binario " è una conseguenza di ". Nel calcolo sequenziale su due lati, abbiamo una teoria dei giudizi più complessa, più comunemente , in cui alcune logiche hanno giudizi tali che non sono banalmente equivalenti a qualsiasi proposizione del linguaggio della logica. Quindi diversi tipi di proposizione sono visti nella logica classica abbastanza elementare.$[P]$$[P]$$[T]$$H_1, \dots, H_n \vdash A_1, \dots, A_n$

La teoria dei tipi di Martin-Löf ricorre a una famiglia di giudizi più complessa per tre ragioni: in primo luogo, è tipizzata in modo dipendente, nel senso che le proposizioni si presentano come entità sintattiche all'interno dei termini. In secondo luogo, ha dispensato usando una grammatica per definire quali stringhe di simboli sono termini e proposizioni validi, ma ha usato il sistema inferenziale per farlo - una cosa ragionevole da fare poiché le proposizioni in tali teorie tipizzate non sono generalmente prive di contesto. In terzo luogo, ha escogitato una nuova teoria dell'uguaglianza, spesso chiamata uguaglianza proposizionale, che sfrutta la teoria beta-eta (o in alcune varianti, solo la teoria beta), e i giudizi secondo cui due termini condividono la stessa forma normale sono espressi usando giudizi che esprimono l'equivalenza beta / eta di due termini - di nuovo ragionevole,

I giudizi che esprimono l'equivalenza beta / eta possono essere eliminati senza troppe difficoltà - hanno come motivo per la regola di introduzione per l'uguaglianza proposizionale che i due termini sono beta equivalenti (l'equivalenza beta-eta è leggermente più problematica) - ma eliminando il giudizio che i termini abitano i tipi è molto più complicato; il modo meno negativo che mi viene in mente per fare questo è quello di ricostruire l'inferenza di tipo nel termine grammatica, che porta a una teoria più complessa e meno intuitiva in generale.

Reclami, proposizioni e dichiarazioni sono tutti uguali; ma una ricompensa è una proposizione che è stata verificata (giusta o sbagliata), approvata o utilizzata come conclusione. Non c'è bisogno di formule fantasiose come le risposte sopra sembrano abusare ...