Perché

Non capisco. Ok, abbiamo . Quindi, per il primo presupposto OLS risulta che(poiché $\beta_1-\hat{\beta }_1=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}v_i}{(\frac{n-1}{n}){s_{X}}^{2}}$ $E(v_i)=E((X_i-\bar{X})u_i\overset{p}{\rightarrow}E((X_i-\mu_X)u_i)=E(X_i-\mu_X)E(u_i)=0$ ). Poi Archivio e Watson dice che per la seconda ipotesi OLS è IID e . Sicuramente questo è per il campionamento casuale di variabili, ma non posso dimostrarlo chiaramente. Dopo questo, abbiamo e modo da poter applicare CLT e dire che per $E(u_i|X=x_i)=0$ $v_i$ $Var(v_i)<\infty$ $E(v_i)=0$ $Var(v_i)={{\sigma _{v}}^{2}}<\infty$ da $n\rightarrow \infty$ $v_i\sim N(0,{{\sigma _{v}}^{2}}/n)$ . $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}v_i=\bar{v}$

econometrics mathematical-economics applied-econometrics

— Francesco Totti
fonte

Rendi il tuo post più chiaro. Qual è la "seconda ipotesi OLS": per esempio? Formula anche la tua domanda reale più chiaramente. Ad esempio, l'ipotesi IID ha esattamente a che fare con il modo in cui campioniamo le osservazioni, non è correlata alle ipotesi relative ai regressori e al termine di errore "dentro" ogni osservazione.

— Alecos Papadopoulos,

n

$n$

(X_{i}, Y_{i})

$(X_i, Y_i)$

\forall i

$\forall i$

(X_{i}, Y_{i}), i = 1, . . ., n

$(X_i,Y_i), i=1,...,n$

\hat{β_{1}}

$\hat{\beta_1}$

β_{1} - \hat{β_{1}} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} v_{i}}{(\frac{n - 1}{n}) {s_{X}}^{2}}

$\beta_1-\hat{\beta_1}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}v_i}{(\frac{n-1}{n}){s_{X}}^{2}}$

Anche dopo lo scambio di commenti non sono del tutto sicuro di quale sia il problema del PO, ma risponderò alla domanda nel titolo.

Supponiamo di avere un modello

Y_{i} = β X_{i} + u_{i}, i = 1, . . ., n

$Y_i = \beta X_i + u_i,\;\;\; i=1,...,n$

$\{Y_i, X_i\}$ $i$

Ora considera la variabile casuale

v_{i} = (X_{i} - μ_{X}) u_{i} = (X_{i} - μ_{X}) (Y_{i} - β X_{i}) = X_{i} Y_{i} - β X_{i}^{2} - μ_{X} Y_{i} + μ_{x} β X_{i}

$v_i=(X_i-\mu _X)u_i = (X_i-\mu _X)(Y_i - \beta X_i) = X_iY_i - \beta X_i^2 - \mu_XY_i+\mu_x\beta X_i$

mentre anche

j \neq i : v_{j} = (X_{j} - μ_{X}) u_{j} = (X_{j} - μ_{X}) (Y_{j} - β X_{j}) = X_{j} Y_{j} - β X_{j}^{2} - μ_{X} Y_{j} + μ_{x} β X_{j}

$j\neq i : v_j=(X_j-\mu _X)u_j = (X_j-\mu _X)(Y_j - \beta X_j)=X_jY_j - \beta X_j^2 - \mu_XY_j+\mu_x\beta X_j$

$v_i$ $\{Y_i, X_i\}$ $v_j$ $\{Y_j, X_j\}$ $\{Y_i, X_i\}$ $v_i$ $v_j$

$X_i$ $X_j$ $X_j$ $Y_j$ $X_iY_i$ $X_jY_j$ $v_i$ $v_j$

— Alecos Papadopoulos
fonte

Grazie mille per la correzione. Ho capito il concetto ora.

— Francesco Totti,

@FrancescoTotti. Felice di sentire. Poiché questa risposta ti sembra utile, controlla il segno verde in modo che il tuo post lasci la coda di domande senza risposta

— Alecos Papadopoulos