Lotterie e utilità prevista

Supponiamo di avere le seguenti quattro lotterie:

$L_{1}=[(1,\$1)]$

$L_{2}=[(0.01,\$0),(0.89,\$1),(0.1,\$5)]$

$L_{3}=[(0.9,\$0),(0.1,\$5)]$

$L_{4}=[(0.89,\$0),(0.11,\$1)]$

Se il nostro agente dice che preferisce a e preferisce a , allora non sta seguendo l'ipotesi di indipendenza prevista dall'utilità (nota anche come sostituibilità).$L_{1}$$L_{2}$$L_{3}$$L_{4}$

Qualcuno sa come spiegarlo?

Il tuo esempio è il classico paradosso di Allais .

Penso che il modo migliore per vedere come il modello di preferenza e viola l'indipendenza sia visualizzarlo geometricamente. Considera la seguente figura:L 3 ≻ L $L_1\succ L_2$$L_3\succ L_4$

Osserva che Pertanto, le curve di indifferenza che attraversano e dovrebbero essere parallele. Da , quest'ultima lotteria dovrebbe trovarsi al di sotto dell'IC attraverso . Implicando il parallelismo degli IC, dovrebbe anche trovarsi al di sotto dell'IC attraverso . Ma ci viene dato che . Ciò significa che trova al di sotto dell'IC attraverso

$$\begin{align} L_2&=L_1+(0.01,-0.11,0.1)\\ L_3&=L_4+(0.01,-0.11,0.1). \end{align}$$ $L_1$$L_4$$L_1\succ L_2$$L_1$$L_3$$L_4$$L_3\succ L_4$$L_4$$L_3$(la linea tratteggiata blu). Poiché il parallelismo dei circuiti integrati è una condizione necessaria per l'indipendenza, la preferenza dell'agente è incompatibile con l'indipendenza, poiché può essere giustificata solo da una serie di circuiti integrati non paralleli.

In alternativa, puoi pensare all'incoerenza tra la preferenza dell'agente e la teoria dell'utilità attesa nel modo seguente. Supponiamo che la teoria dell'utilità attesa sia valida. Quindi equivale alla disuguaglianza Aggiungendo su entrambi i lati, otteniamo Ma questa seconda disuguaglianza sta semplicemente dicendo , che è in contraddizione con le preferenze dell'agente.$L_1\succ L_2$

$$\begin{equation} u(\$1)>0.01u(\$0)+0.89u(\$1)+0.1u(\$5). \end{equation}$$ $0.89u(\$0)-0.89u(\$1)$L 4 ≻ L $$\begin{equation} 0.89u(\$0)+0.11u(\$1)>0.9u(\$0)+0.1u(\$5). \end{equation}$$ $L_4\succ L_3$

Ci ho lavorato e credo che questo sia il modo di affrontarlo:

Scrivi le lotterie come segue:

$L_{1}=[(0.89,\$1),(0.11,\$1)]$

$L_{2}=[(0.89,\$1),(0.11,L')]$$L'$$L_{2}$$L'=[(\frac{1}{11},\$0),(\frac{10}{11},\$5)]$

$L_{3}=[(0.89,\$0),(0.11,L')]$$L'$

$L_{4}=[(0.89,\$0),(0.11,\$1)]$

$L_{1}$$L_{2}$

$(0.89,\$1)$$(0.89,\$0)$$L_{4}$$L_{3}$

$L_{3}$$L_{4}$

Cosa ne pensi di questo approccio? È valido?

Questo è solo l'argomento di @ Sadem formalizzato. Si noti che non è necessario utilizzare alcuna rappresentazione delle funzioni di utilità, è possibile utilizzare solo la preferenza rispetto alle lotterie in combinazione con l'assioma dell'indipendenza.

$L'' \succeq L'$ $\Leftrightarrow$

$$\alpha L'' + (1-\alpha) L \succeq \alpha L' + (1-\alpha) L$$ $\forall L, L', L'' \in \mathcal{L}$$\forall \alpha \in (0,1)$

Definisci , , e . Pertanto, la prima istruzione implica$L'' := L_{1}$$L' := \big((0,1/11), (5,10/11)\big)$$L := L_{1}$$\alpha = .11$

$$\alpha L'' + (1-\alpha) L \succ \alpha L' + (1-\alpha) L$$

Ora, definisci . Pertanto, la seconda istruzione implica$L''' := (0,1)$

$$\alpha L'' + (1-\alpha) L''' \prec \alpha L' + (1-\alpha) L'''$$

Pertanto l'assioma dell'indipendenza viene violato.

Le utilità previste di e sono:$L_1$$L_2$

$E(L_1)=\sum_{i=1}^{n=1}{p_iu_i}=1*1= 1$ $

$E(L_2)=\sum_{i=1}^{n=3}p_iu_i=0.01*0+0.89*1+0.1*5= 1.39$ $

Pertanto, se l'agente afferma di preferire a non sta seguendo il presupposto di indipendenza dell'utilità attesa come .$L_1$$L_2$$E(L_2) > E(L_1)$

Allo stesso modo con e$L_3$$L_4$

$E(L_3)=\sum_{i=1}^{n=2}p_iu_i=0.05$ $

$E(L_4)=\sum_{i=1}^{n=2}p_iu_i= 0.11$ $

Poiché , se l'agente afferma di preferire a , non segue anche l'ipotesi di utilità attesa sull'indipendenza.L 3 L $E(L_4)>E(L_3)$$L_3$$L_4$

Spero sia utile!