Concetti topologici nella teoria economica

DOMANDA: Quali sono le principali o sistematiche applicazioni della matematica post-1960 alla microeconomia?

Ad esempio, alla fine del XIX secolo, Fisher ha usato per la prima volta le idee matematiche di Gibbs per costruire la moderna teoria dell'utilità. Nel 20 ° secolo, Mas-Colell incorporò idee topologiche per studiare l'equilibrio generale. Che dire della fine del 20 °, all'inizio del 21 ° secolo?

Ad esempio, considera la teoria dei grafi diretta, la teoria della misura, la topologia, la teoria delle categorie e l'omologia o la coomologia moderna, i metodi topos, l'integrazione funzionale, ecc.

Nota 1 : econometria / statistica, senza modellizzazione, è esclusa. L'unica matematica moderna usata lì è la teoria del cammino casuale e il problema ergodico, risolto tramite analisi complesse. RW ed EP non sono specifici per l'economia.

Qualsiasi pubblicazione economica appropriata è una risposta. Ciò includeva anche quelli pubblicati su riviste non strettamente economiche, ad esempio il Journal of Mathematical Psychology .

Nota 2 : Sì, lo so, questo tipo di lavoro è più raro (da non confondere con l'oscurità: alcuni di questi sono ben noti). Questo è ciò che rende facile perdere tale riferimento quando viene pubblicato. Da qui la domanda.

Sospetto fortemente che un'area emergente e importante per le applicazioni della teoria delle misure sarà nelle tecniche di programmazione dinamica approssimativa. La programmazione dinamica approssimativa (alias "apprendimento di rinforzo" nella letteratura informatica) è stata la direzione del lavoro di ricerca negli ultimi 10-20 anni della letteratura sulla programmazione dinamica. L'economia ha appena iniziato ad adottare alcuni di questi progressi. Per esempio della direzione della letteratura sulla DP, vedi la più recente espansione della quarta edizione di Bertsekas della sua serie di programmazione dinamica, o DP approssimativa di Powell : Risolvere la maledizione della dimensionalità. Gli economisti hanno appena iniziato a raccogliere alcuni di questi strumenti, sia direttamente che indirettamente, e sospetto che avranno un impatto crescente sulla letteratura nei prossimi anni. Parte del background analitico per la convergenza di questi metodi è la topologia e i sistemi dinamici.

Un buon esempio di contributo teorico a questo tipo di letteratura da parte degli economisti è Pál e Stachurski (2013), Fitted Value Function Iteration With Probability One Contractions (versione non controllata qui ). Dai un'occhiata a quel foglio e puoi vedere l'importanza di una buona conoscenza della teoria della misura. Il libro di Stachurski Economic Dynamics è in realtà una bella esposizione della programmazione dinamica da questa prospettiva, che si sviluppa a un ritmo che funziona per più livelli di studenti / professionisti laureati (la teoria della misura arriva formalmente alla fine credo che sto ancora lavorando verso quelle intuizioni).

Spero che questo risponda alla tua domanda in una certa misura. Temo che la frase "matematica post-anni '60" sia in qualche modo ambigua per me (a causa della mia mancanza di conoscenza della storia della letteratura matematica), quindi se ho completamente perso il segno, le mie scuse!

Era troppo lungo per un commento. "Post 1960" sembra una barra arbitraria e molto alta per un campo applicato, compresa la micro-teoria. La maggior parte degli argomenti che chiami non sarebbe considerata matematica contemporanea. Ad esempio, la teoria delle misure è iniziata con la tesi di Lebesgue ed è vecchia di oltre un secolo. La topologia è ancora più antica e inizia con Poincaré, che ha introdotto i gruppi di omologia. Entrambi sono insegnati agli studenti di oggi, come il calcolo. (La matematica usata da Mas-Colell et al. In GE è l'analisi, piuttosto che la topologia.)

L'esternalità dei programmi di ricerca che guidano la matematica moderna dalla metà del 20 ° secolo alla comunità applicata è nella migliore delle ipotesi indiretta. Il punto di vista e le tecniche motivate, ad esempio, dalla geometria non commutativa, dal programma di Langland, dalla congettura di Poincaré, dalla congettura di Baum-Connes, dalla congettura dei primi gemelli (medaglie Fields sono state assegnate dopo il 1960 per progressi su questi problemi), ecc. --- probabilmente non sarà mai visto al di fuori della matematica. La finanza matematica, ovviamente, rimane matematica ma questo è abbastanza rimosso dal punto di vista economico.

Modifica Si scopre che, affrontando direttamente la tua domanda, ci sono state applicazioni della topologia alla teoria della scelta sociale, avviata da Chichilnisky, et. al. Ecco un documento JET sull'argomento di un topologo:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Forse qualcuno con esperienza in topologia può commentare ulteriormente.

Gli spazi loeb sono stati utilizzati per modellare le situazioni con un continuum di agenti. Vedi http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf e i capitoli di Sun sulle applicazioni economiche nel libro Analisi non standard per il matematico che lavora .

La teoria della misura è ampiamente usata nel problema della divisione equa (alias "taglio della torta"). Vedi i numerosi articoli sull'equità nelle riviste economiche .

Per un esempio particolare, vedere Tatsuro Ichiishi e Adam Idzik, "Equa ripartizione dei beni divisibili", JME 1999 .

Accanto al lavoro di Chichilnisky menzionato da Michael, un altro uso interessante della topologia nella teoria della scelta sociale appare nel lavoro di Redekop sul teorema di Arrow nei settori economici.

• Redekop, J. (1991). Il benessere sociale funziona in settori economici ristretti. Journal of Economic Theory, 53, 396–427.
• Redekop, J. (1993a). Domini economici incoerenti con la freccia. Scelta sociale e benessere, 10, 107-126.
• Redekop, J. (1993b). La topologia del questionario su alcuni spazi delle preferenze economiche. Journal of Mathematical Economics, 22, 479-494.
• Redekop, J. (1993c). Funzioni di welfare sociale su domini parametrici. Scelta sociale e benessere, 10, 127–148.
• Redekop, J. (1995). Teoremi di freccia in ambienti economici. In WA Barnett, H. Moulin, M. Salles e NJ Schofield (a cura di), Scelta sociale, benessere ed etica (pagg. 163-185). Cambridge: Cambridge University Press.
• Redekop, J. (1996). Teoremi di freccia in ambienti misti, stocastici e dinamici. Scelta sociale e benessere, 13, 95-112.

Il teorema dell'impossibilità di Arrow è stato originariamente dimostrato per un insieme astratto di alternative, consentendo ogni possibile profilo di preferenza rispetto a questo insieme di alternative. La domanda che Redekop (e altri) si poneva era: esiste un equivalente del teorema di Arrow quando le alternative sono fasci di beni e l'agente ha preferenze "classiche" su quei beni (monotonici, convessi, continui, egoistici, ...).

Più precisamente, la domanda era se esistesse una funzione di welfare sociale che soddisfacesse i tre assiomi arroviani (indipendenza di alternativa irrilevante, debole pareto e non dittatura) su questi settori economici (vedi Le Breton, Michel e John A. Weymark ". Teoria della scelta sociale sui domini economici del diciassettesimo-arroviano. "Manuale di scelta sociale e benessere 2 (2011): 191-299 per una grande recensione, su cui si basa questa risposta).

All'incirca, il lavoro di Redekop mostra che, per alcuni di quei problemi economici, se un dominio di preferenze ammette una funzione di welfare sociale di Arrovia, il dominio deve essere "piccolo" in un certo senso topologico. Ad esempio, in Redekop (1991), introduce una geniale topologia su insiemi di preferenze che ha soprannominato la topologia del questionario , e mostra che, in un'economia dei beni pubblici, se un dominio di preferenze ammette una funzione di welfare sociale di Arrovia, allora il dominio deve essere in nessun posto denso secondo questa topologia (cioè la chiusura del dominio non contiene set aperti).