Ok, sto lavorando su un problema che consiste nel seguente:
Sto cercando di risolvere il problema di ottimizzazione della scelta del portafoglio (massimizzando l'utilità con una funzione di utilità conosciuta) nel caso in cui tutte le variabili casuali sottostanti siano normali e multivariate.
Problema:
definire $ \ phi $ come l'importo investito in ciascuna delle attività rischiose $ n $, in modo tale che il vincolo di budget sia:
$ \ Sigma_ {i = 1} ^ {n} \ phi_i = w_0 $ per un po 'di ricchezza iniziale, $ w_0 $
Mostra che il portafoglio ottimale è:
$ \ phi = \ frac {1} {\ alpha} \ Sigma ^ {- 1} \ mu + [\ frac {\ alpha w_0-1 '\ Sigma ^ {- 1} \ mu} {\ alpha 1' \ Sigma ^ {-1}} 1] \ Sigma ^ {- 1} 1 $
dove ognuno degli 1 è un vettore di colonna $ n $ -dimensionale di 1.
Lavoro / Tentativo
Ok, queste sono le cose che so:
Ho a che fare con l'utilità CARA, che mi dà una funzione di utilità del modulo:
$ u (w) = - e ^ {- \ alpha w} $ dove $ w $ è la mia ricchezza casuale di fine periodo che credo sia distribuita come
$ w $ ~ $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ con $ \ mu = \ phi '\ mu $ (un vettore di rendimenti attesi scalati in base all'importo investito in ciascuno) e $ \ sigma ^ 2 = \ phi '\ Sigma \ phi $ dove $ \ Sigma $ è la matrice di covarianza delle risorse rischiose $ n $.
Quindi, per trovare l'utilità prevista di questa funzione, uso il fatto che l'aspettativa di un esponenziale delle normali è l'esponenziale della media più metà della varianza, per arrivare a:
$ E (u (w)) = - e ^ {- \ alpha \ phi '\ mu + \ frac {\ alpha ^ 2 \ phi' \ Sigma \ phi} {2}} $
Elaborare un alfa negativo e equiparare la parte restante dell'esponenziale come l'equivalente di certezza di una ricchezza casuale (potrei non spiegarlo bene, ma sono quasi certo che questo è il percorso corretto), posso massimizzare l'utilità massimizzando il utilità della certezza equivalente, che si ottiene massimizzando l'equivalenza stessa della sicurezza.
Tutto ciò per dire, ho bisogno di:
$ \ Frac {\ partial} {\ partial \ phi} \ phi '\ mu + \ frac {\ alpha \ phi' \ Sigma \ phi} {2} = 0 $
Da lì non riesco a ottenere nulla nemmeno lontanamente vicino al risultato che dovrei mostrare. io ho
$ 1' \ mu + \ alpha \ Sigma \ phi = 0 $
che sembra rispecchiare il primo termine nel risultato, ma sono perso da dove viene il resto.
Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato. Non sono sicuro che il mio errore sia nella derivata parziale multidimensionale, o se si tratti di ottenere la funzione che deve essere massimizzata. Il libro che sto usando ha un problema simile per un singolo asset rischioso che posso lavorare bene, ma l'esclusione di un asset privo di rischio (che sembrerebbe semplificare il vincolo di ricchezza) mi rende più confusa.