Preferenza alle lotterie senza assioma dell'indipendenza

Supponiamo che un insieme di esiti possono essere classificati nel seguente ordine: 1 \ 2 succ \ succsim \ cdots \ succsim N . Inoltre, supponiamo che un decisore abbia la preferenza sulle lotterie rispetto a questi risultati. Supponiamo che la preferenza sulle lotterie sia razionale, continua, ma non necessariamente coerente con l'assioma dell'indipendenza .$N$$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

Ne consegue che la migliore lotteria in questo caso è la lotteria degenerata $(1,0,\dots,0)$ ?

Cosa succede se l'assioma dell'indipendenza viene violato ?

No, non necessariamente. Senza l'assioma dell'indipendenza (o qualcos'altro per sostituirlo) non c'è molto che si possa dedurre dalle preferenze sulle lotterie (non degenerate) dalla conoscenza delle preferenze solo sui risultati.

Ad esempio, sia la probabilità di risultati . Quindi preferenze su lotterie rappresentate dalla funzione utility$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

sono continui e razionali, ma non soddisfano l'assioma dell'indipendenza. Per abbastanza grande, non è nemmeno il caso che sia la migliore lotteria, sebbene e .$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

Per capire perché, osservalo

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

Tuttavia, per ,$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

La violazione dell'assioma dell'indipendenza può essere vista dal fatto che, quando ,$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

sebbene

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$