L'avversione al rischio provoca una riduzione dell'utilità marginale o viceversa?

Lascia che sia l'insieme dei possibili stati del mondo o delle possibili preferenze che una persona potrebbe avere. Lasciate l'insieme delle "scommesse" o "lotterie", cioè l'insieme delle distribuzioni di probabilità oltre . Quindi ogni persona avrebbe un ordine preferito degli stati in , così come un ordine preferito delle lotterie in . Il teorema di von Neumann-Morgenstern afferma che, assumendo la tua preferenza su obbedisce a determinati assiomi di razionalità, le tue preferenze possono essere rappresentate da una funzione di utilità $A$ $G(A)$ $A$ $A$ $G(A)$ $G(A)$ $u: A → ℝ$ . (Questa funzione è unica fino alla moltiplicazione degli scalari e all'aggiunta di costanti). Ciò significa che per ogni due lotterie e in , preferisci a se e solo se il valore atteso di sotto è maggiore rispetto al valore atteso di inferiore a . In altre parole, si massimizza il valore atteso della funzione di utilità. $L_1$ $L_2$ $G(A)$ $L_1$ $L_2$ $u$ $L_1$ $u$ $L_2$

Ora, solo perché massimizzi il valore atteso della tua funzione di utilità non significa che massimizzi il valore atteso di cose reali come il denaro. Dopotutto, le persone sono spesso avverse al rischio; dicono "un uccello nella mano vale due nella boscaglia". L'avversione al rischio significa che valuti una scommessa inferiore al valore atteso del denaro che guadagnerai. Se esprimiamo questa nozione in termini della funzione di utilità von Neumann-Morgenstern, otteniamo il seguente risultato attraverso la disuguaglianza di Jensen: una persona è avversa al rischio se e solo se la sua funzione di utilità è una funzione concava del tuo denaro, cioè la misura in cui sei avverso al rischio è uguale alla misura in cui hai un'utilità marginale di denaro in diminuzione. (Vedi pagina 13 di questo PDF .)

La mia domanda è: quale direzione corre la causalità? I valori della funzione di utilità von Neumann-Morgenstern riflettono l'intensità delle tue preferenze, ed è l'avversione al rischio dovuta allo sconto delle preferenze di sé futuri che sono benestanti rispetto alle preferenze delle future versioni di te stesso che sono più povere e quindi valorizzano soldi di più (come suggerisce Brad Delong qui )? Oppure la causalità corre nell'altro modo: la tua tolleranza al rischio determina la forma della tua funzione di utilità, in modo che la funzione di utilità von Neumann-Morgenstern non ti dica nulla sull'intensità relativa delle tue preferenze?

— Keshav Srinivasan
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Risposte:

Penso di aver trovato una risposta alla mia domanda, in questo estratto del documento del 1994 del premio Nobel John C. Harsanyi "Validità e significato normativo delle utilità di von neumann-morgenstern", presentato al IX Congresso Internazionale di Logica, Metodologia e Filosofia di Scienza. Harsanyi inizia dimostrando stesso lemma che Alecos dimostrato nella sua risposta, cioè che se è una funzione di utilità Vnm di un individuo, allora $u$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ se e solo se preferirebbero 5 dollari garantiti rispetto a un 50% di 10 dollari e una probabilità del 50% di 0 dollari. Nella sezione commenti ho detto che non era sufficiente per dimostrare che la funzione di utilità vNM rappresentava l'intensità delle preferenze, perché se il piacere e il dolore effettivi dell'individuo fossero stati accuratamente descritti da un'altra funzione di utilità , che è una trasformazione monotona ma non una trasformazione affine di ? In tal caso, potrebbe non riuscire a soddisfare la proprietà del valore previsto e ? $v$ $u$ $v$ $v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

Harsanyi ha un'argomentazione intelligente su questo problema. Lascia che sia la lotteria in cui ottieni 5 dollari garantiti, lascia che sia la lotteria in cui hai una probabilità del 50% di 10 dollari e una probabilità del 50% di 0 dollari, e lascia che sia la lotteria in cui hai una probabilità del 50% di 10 dollari e una probabilità del 50% di 5 dollari. Quindi ovviamente la persona preferisce sia a che a . E Harsanyi sostiene che è preferito a meno forte di è preferito a se e solo se . Questo perché nella scelta tra, $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_3$ $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$ $L_3$ vs , il 50% delle volte riceve 5 dollari e il 50% delle volte deve scegliere tra 10 e 5. Analogamente nella scelta tra e , il 50% delle volte riceve 10 dollari, e il 50% delle volte devono scegliere tra 5 e 0. $L_1$ $L_3$ $L_2$

Ora ecco che arriva il colpo da maestro: è preferito a se e solo se è preferito a meno fortemente di è preferito a . Pertanto, è preferito a se e solo se . E così giungiamo alla grande conclusione che se e solo se . $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $L_1$ $L_2$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

Così Harasanyi giunge alla conclusione che la funzione di utilità vNM rappresenta le intensità delle preferenze. Quindi la risposta alla mia domanda sembra essere che l'utilità marginale decrescente nella funzione di utilità vNM rifletta un'utilità marginale decrescente quando si tratta dell'intensità delle preferenze, e quindi (supponendo che gli assiomi vNM siano veri) l'utilità marginale decrescente è davvero la causa del rischio avversione.

A proposito, su una nota a margine mi chiedo se potremmo identificare l'insieme di tutte le funzioni che soddisfano il vincolo che if e only if (e similmente per maggiore di e uguale a). (EDIT: ho chiesto questo su Mathematics.SE qui .) $v$ $u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$ $v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

— Keshav Srinivasan
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@AlecosPapadopoulos Grazie! Ma questa prova non è in realtà un caso di "lavoro sugli assiomi"; la funzione non deve assolutamente soddisfare la proprietà del valore atteso.

v

$v$

— Keshav Srinivasan,

@AlecosPapadopoulos A proposito, ho appena pubblicato un'altra domanda relativa alla teoria dell'utilità attesa che potrebbe interessarti: economics.stackexchange.com/q/5304/4447

— Keshav Srinivasan

La funzione di utilità è una rappresentazione delle preferenze, tradizionalmente dedotte dalle scelte. Le preferenze vengono prima dell'utilità. Non chiamerei la connessione tra utilità e preferenze causalità, solo una relazione matematica.

L'avversione al rischio (preferenza di rischio) non è collegata all'attualizzazione, che misura la preferenza temporale. Non ha senso affermare che l'avversione al rischio è dovuta all'attualizzazione delle preferenze di sé futuri.

— Sander Heinsalu
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"Non chiamerei la connessione tra utilità e preferenze causalità, solo una relazione matematica." Bene, il nocciolo della mia domanda non riguarda il fatto che le preferenze portino a funzioni di utilità. Ecco cosa chiedo fondamentalmente: i valori della funzione di utilità von Neumann-Morgenstern riflettono l'intensità delle preferenze o riflettono semplicemente atteggiamenti nei confronti del rischio che non hanno nulla a che fare con l'intensità delle preferenze? E comunque, scontando non intendo l'attualizzazione del tempo. Intendo valutare le versioni di te stesso in alcuni futuri possibili più delle versioni in altri futuri.

— Keshav Srinivasan,

La prevista rappresentazione delle preferenze da parte dell'utilità è unica fino alle trasformazioni affine strettamente in aumento. I valori di utilità non hanno significato, solo il loro posizionamento ha significato. È possibile moltiplicare la funzione di utilità per 2, ad esempio con le preferenze invariate.

— Sander Heinsalu,

@KeshavSrinivasan Forse entrambi vogliono aggiornare la domanda / risposta con le informazioni aggiuntive che hai inserito nei commenti qui. Forse la domanda viene anche posta in modo troppo formale (e come tale, troppo lunga). Sento di aver imparato qualcosa leggendo questi commenti qui.

— FooBar,

@SanderHeinsalu Distinguiamo tra due cose. Ci sono le informazioni extra trasmesse dall'esistenza di una funzione di utilità vNM, vale a dire le informazioni che la persona soddisfa gli assiomi vNM. Ma sto parlando delle informazioni trasmesse dalla stessa funzione vNM. Vale a dire, se x, ye z sono tre elementi fissi di A, allora la quantità (u (x) - u (y)) / (u (y) - u (z)) varia da persona a persona (tra le persone che soddisfano gli assiomi vNM), ma non varia tra le diverse funzioni di utilità vNM per la stessa persona. Quindi questa quantità trasmette qualcosa di specifico per una persona.

— Keshav Srinivasan,

L'attitudine al rischio fa parte delle preferenze. Quindi trasmette sia l'atteggiamento al rischio che l'intensità della preferenza in un certo senso. Ma c'è anche l'utilità indipendente dallo stato in vNM, che è rilassata in qualche teoria decisionale successiva. Questo può essere interpretato come la stessa intensità di preferenza per il consumo in diversi stati, con tutta la differenza di utilità dal consumo in diversi stati attribuita alle probabilità degli stati.

— Sander Heinsalu,

La proprietà Utilità attesa non è una proprietà che dipende dalla forma funzionale della funzione di utilità. La sua esistenza dipende dal soddisfacimento di alcuni "assiomi" (che verrebbero descritti più accuratamente come "condizioni"), che hanno a che fare con le preferenze / il comportamento degli esseri umani. Possono avere un'espressione matematica rigorosa (che è buona), ma hanno a che fare con le preferenze, cioè prima che venga specificata qualsiasi forma funzionale per la funzione di utilità. Vediamo cosa significa. In un commento l'OP ha scritto

$[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

Lo fa.

Citando da Jehle & Renyi (2011) "Advanced Microeconomic Theory" (3d ed) , cap. 2 p. 108

"Concludiamo che il rapporto tra le differenze di utilità ha un significato intrinseco rispetto alle preferenze dell'individuo e devono assumere lo stesso valore per ogni rappresentazione di utilità VNM di (la relazione di preferenza debole). Pertanto, le rappresentazioni di utilità VNM forniscono informazioni nettamente superiori rispetto alle informazioni ordinali sulla le preferenze del decisore, altrimenti, attraverso opportune trasformazioni monotone, tali rapporti potrebbero assumere molti valori diversi ".

Nel loro esempio appena prima della citazione lo mostrano

\frac{[u (x) - u (y)]}{[u (y) - u (z)]} = \frac{1 - α}{α}

$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$

$\alpha$

$\alpha$

$(1-\alpha)/\alpha$

Quindi eccoti qui: una funzione di utilità vNM è associata alle probabilità che possono caratterizzare le preferenze di una persona.

ADDENDUM
Dopo uno scambio interessante ma troppo lungo di opinioni e pensieri nei commenti con il PO, ho deciso di migliorare questa risposta con un esempio, al fine di dimostrare che nel contesto della teoria specifica delle preferenze di cui stiamo discutendo, "intensità delle preferenze "(come discusso in modo informale qui) non può essere dissociato dall '" atteggiamento nei confronti del rischio ", poiché sono indissolubilmente legati.

Supponiamo che un individuo dichiari (come ha tutto il diritto di): "Le mie preferenze sono monotoniche e preferisco di più a meno. Inoltre, i prossimi cinque euro mi daranno esattamente la stessa utilità dei cinque dopo di loro". Si noti che questo è l'individuo che parla: non possiamo chiedergli se l'utilità può essere cardinale o meno ecc. Partendo da zero per comodità, simboleggiamo la sua affermazione come

\begin{matrix} (1) & u (10) - u (5) = u (5) - u (0) ⟹ u (5) = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$

Nel contesto della discussione con il PO, questa è una dichiarazione sull'intensità delle preferenze.

$5$ $G$ $0$ $1/2$ $10$ $1/2$ $5$

Domanda: le preferenze di questo individuo, come descritto dalle sue due affermazioni, possono essere rappresentate da una funzione di utilità che possiede la proprietà di utilità prevista?

Risposta: No.

$CE_G$ $5$

Quindi abbiamo quello

\begin{matrix} (2) & E [u (G)] = u (C E_{G}) < u (5) \end{matrix}

$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$

Ora che la proprietà dell'utilità attesa deve essere mantenuta, deve essere così

\begin{matrix} (3) & u [G; p (G)] = E [u (G)] = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$

$(2)$

\begin{matrix} (4) & (2), (3) ⟹ \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) < u (5) \end{matrix}

$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$

$(1)$

Quindi concludiamo che un individuo le cui preferenze sono descritte dalle dichiarazioni precedenti non può essere rappresentato da una funzione di utilità che possiede la proprietà di utilità prevista.

$5$ $G$

— Alecos Papadopoulos
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\frac{u (x) - u (y)}{u (y) - u (z)}

$\frac {u(x) - u(y)}{u(y) - u(z)}$

\frac{u (10) - u (5)}{u (5) - u (0)} = \frac{1}{3}

$\frac {u(10) - u(5)}{u(5) - u(0)}= \frac{1}{3}$

G (A)

$G(A)$

@KeshavSrinivasan Classifica l' intensità, ma non misura l' intensità.

— Alecos Papadopoulos,

u (10) - u (5) < u (5) - u (10)

$u(10) - u(5) < u(5) - u(10)$

5

$5$

10

$10$

3 / 4

$3/4$

0

$0$

1 / 4

$1/4$

CONTD Se mi piace "più 5", meno di quanto non mi piaccia " meno 5", non è logico pensare che, quando si tratta di incertezza, sbaglierò un po 'di più per non perdere 5, piuttosto che vincere 5 Di Più? Ricorda, una funzione di utilità che mostra avversione al rischio, mostra anche una riduzione dell'utilità marginale della ricchezza. L'atteggiamento nei confronti del rischio e l '"intensità delle preferenze" sono strettamente collegati.

— Alecos Papadopoulos,