Assioma di continuità nella teoria dell'utilità attesa

Prendi la seguente definizione di continuità.

La relazione di preferenza $\succsim$ nello spazio delle lotterie $\mathcal L$ è continuo se per qualsiasi $L,L',L''\in\mathcal L$ , le serie
$S_{1} = {α \in [0, 1] : α L + (1 - α) L^{'} ≿ L^{″}}$ $S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$ e $S_{2} = {α \in [0, 1] : L^{″} ≿ α L + (1 - α) L^{'}}$ $S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$ sono entrambi chiusi.

È necessariamente vero che $S_1\cup S_2=[0,1]$ ? Se è così, perché?

microeconomics decision-theory expected-utility

— Herr K.
fonte

È.
Prima della continuità, che è una proprietà della relazione di preferenza, la relazione di preferenza stessa è stata definita come una relazione binaria caratterizzata dalla transitività e, per cominciare, dalla completezza . Quindi se , significa che esistono alcuni valori di da qualche parte in , chiamali per i quali $\succsim$
$S_1\cup S_2 \neq [0,1]$ $\alpha$ $[0,1]$ $\tilde \alpha$

nessuno dei due

{\tilde{α} L + (1 - \tilde{α}) L^{'} ≿ L^{″}}

$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$

né

{L^{″} ≿ \tilde{α} L + (1 - \tilde{α}) L^{'}}

$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$

In parole, per questi ', la coppia non può essere ordinata affatto . Ma questo contraddice il fondamento della completezza necessario anche per ottenere una relazione di preferenza (come ovviamente usato nella nostra teoria. Gli psicologi, credo, non sarebbero d'accordo). $\tilde \alpha$

Inoltre, nota che la completezza è definita su tutte le coppie immaginabili, anche se, in una situazione specifica, abbiamo scelto di limitare lo spazio delle lotterie a qualcosa di più piccolo. Se le lotterie in esame appartengano allo spazio della lotteria specificato, è davvero irrilevante. La persona che ha le preferenze deve essere in grado di ordinarle in ogni caso, anche come scenario "ipotetico" (anche se in senso stretto, per un problema specifico abbiamo il "lusso" di imporre completezza solo per quanto riguarda le lotterie disponibili, mentre " rimanendo agnostico "per quanto riguarda la completezza se espandiamo lo spazio della lotteria. Tuttavia questo" indebolimento "sull'imposizione dell'assioma della completezza, non porta realmente alcun guadagno).

— Alecos Papadopoulos
fonte