Perché è impossibile creare un osservatore per questo sistema non completamente osservabile?

Considera una massa di punti 1D che si muove lungo un asse. Una forza$u$viene applicato come controllo. Non vi sono gravità o altre forze coinvolte. Il sistema può essere descritto nelle equazioni dello spazio degli stati come:

$$\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{M} \end{bmatrix} \\ C &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{align}$$

Il sistema mostrato è controllabile, ma non osservabile. Neanche osservabile strutturalmente e sicuramente non completamente osservabile. Pertanto, dovrebbe essere impossibile costruire un osservatore per questo sistema.

Tuttavia, se conosco lo stato iniziale del sistema, posso calcolare lo stato completo in qualsiasi momento, ovvero integrando l'output del sistema. In che modo ciò si allinea al concetto di osservabilità? Come avrei incorporato lo stato iniziale nelle equazioni?

Non riesco a trovare l'errore nel mio treno di pensieri, ma sono certo che ce n'è uno. Comprendo male l'osservabilità?

Osservabilità significa che è possibile stimare lo stato completo utilizzando solo l'output, senza conoscere lo stato iniziale. In altre parole, devi capire dove sei senza sapere dove eri inizialmente.

Un motivo più pratico per cui questo funziona raramente è che quando si è limitati da sensori non perfetti e tempo di campionamento diverso da zero, l'assunzione dell'integrale dell'accelerazione causerà errori crescenti nelle stime delle posizioni e della velocità. Pertanto, anche se conosci lo stato iniziale, ne perderai la traccia nel tempo.