Un mio professore, molto tempo fa, una volta ha scherzato:
"Dammi una parola ... qualsiasi parola ... e ti mostrerò come la radice
di quella parola è un PDE! "
Un tocco di filosofia
Tutti i sistemi fisici sono modellati da alcune serie di equazioni matematiche, siano esse differenziali, algebriche, integrali, stocastiche, ecc. I modelli più semplici di sistemi fisici considerano solo variazioni nella variabile temporale (cioè equazioni differenziali ordinarie). Sebbene questi modelli tendano ad essere molto semplificati rispetto alla "vera fisica", spesso sono "abbastanza buoni" per specifiche applicazioni di ingegneria perché noi, come ingegneri, spesso ci occupiamo solo del comportamento di input-output del sistema nel tempo.
Vantaggi dei modelli ODE:
Ignorare tutte le variazioni rispetto ad altre variabili (specialmente lo spazio) semplifica le cose sia per calcolare che per analizzare (rispetto ad altri tipi di equazioni differenziali). Puoi usufruire di una grande quantità di strumenti di analisi, compresi gli impulsi e gli ampli; risposta in frequenza, diagrammi di bode, ecc ... Se il tuo sistema di ODE è lineare o altrimenti linearizzabile attorno a un setpoint, puoi spesso utilizzare tecniche di controllo standard come PID, LQR e LQG.
Svantaggi dei modelli non ODE
Sottolineo che gli ODE sono più semplici da analizzare in quanto richiedono la minima complessità matematica richiesta da un ingegnere. Ci sono, naturalmente, modelli più complicati di sistemi fisici (ad esempio equazioni differenziali parziali) che sono probabilmente più riflettenti della vera fisica rispetto a un modello ODE. Tuttavia, gli strumenti di analisi che hai imparato per l'ODE (a.k.a. teoria del controllo classica) non si applicano più. Invece, probabilmente dovrai usare una serie di strumenti che rientrano nella categoria della teoria del controllo ottimale. Per la maggior parte dei problemi di interesse per gli ingegneri, il controllo ottimale richiede metodi numerici abbastanza sofisticati (di solito l'ottimizzazione basata sull'aggiunta). La situazione diventa ancora più complicata se si include la stocasticità in una qualsiasi delle variabili o dei parametri.
In breve, il controllo di qualsiasi cosa diversa da una ODE è molto complicato da fare nella pratica e spesso non è necessario iniziare. Il controllo non ODE è un campo molto altamente specializzato e generalmente non viene insegnato come parte delle classi di ingegneria di base. Se si ha la possibilità di controllare qualcosa di diverso da un ODE in pratica, sarà probabilmente una parte della ricerca scientifica più all'avanguardia piuttosto che le applicazioni ingegneristiche di routine.