Sto cercando di capire l'aritmetica vettoriale (e in particolare il suo utilizzo nel motore Unity). Non riesco a capire come un vettore possa avere una lunghezza (magnitudine) anche se rappresenta solo un punto (posizione e direzione)?

Ciò significa che la grandezza è semplicemente la sua distanza dal punto di origine (0, 0, 0)? Oppure mi sfugge qualcosa?

Ciò significa che la grandezza è semplicemente la distanza dal punto di origine (0, 0, 0)?

La risposta tl; dr potrebbe essere: Sì, puoi immaginarla così.

Ma non sono sicuro che questo potrebbe non portare a una comprensione sbagliata.

Un vettore non è un punto e c'è una differenza cruciale tra i due!

Il fatto che un vettore sia generalmente rappresentato come una "freccia" potrebbe dare un'impressione sbagliata. Un vettore, infatti, non è una singola freccia. Sarebbe più preciso dire che un vettore è l'insieme di tutte le frecce che hanno la stessa lunghezza e direzione . (La freccia che di solito è dipinta è solo un rappresentante di tutte queste frecce). Ma non voglio approfondire troppo i noiosi dettagli della matematica qui.

Ancora più importante, c'è una differenza cruciale tra un punto e un vettore, che diventa evidente nella programmazione grafica quando si trasforma il punto o il vettore. Non ho familiarità con Unity, ma da una rapida occhiata alla documentazione, stanno modellando la differenza più importante tra un punto e un vettore nella Matrix4x4classe. Ha due diverse funzioni:

• Matrix4x4.MultiplyVector e
• Matrix4x4.MultiplyPoint

La differenza è, approssimativamente parlando, che un vettore non viene tradotto, mentre un punto lo è. Immagina la seguente matrice 4x4:

1.0   0.0   0.0   1.0
0.0   1.0   0.0   2.0
0.0   0.0   1.0   3.0
0.0   0.0   0.0   1.0

Descrive una traduzione su (1,2,3). Ora, quando hai il seguente pseudocodice

Vector3 tp = matrix.MultiplyPoint (new Vector3(2,3,4));
Vector3 tv = matrix.MultiplyVector(new Vector3(2,3,4));

Quindi tpsarà (3,4,5), dove tvsarà ancora (2,3,4). La traduzione di un vettore non lo cambia (perché, come detto sopra, è l'insieme di tutte le frecce con la stessa grandezza e direzione).

Il fatto che Unity usi la Vector3classe per entrambi, vettori e punti, è legittimo, ma può essere fonte di confusione. Altre biblioteche differenziano appositamente Point3De Vector3D, a volte con una base comune come Tuple3D.

Ciò significa che la grandezza è semplicemente la distanza dal punto di origine (0, 0, 0)?

Questo è esattamente questo.

Tra le altre cose, un vettore può rappresentare un punto (una posizione), una direzione e / o una velocità, a seconda del contesto.

Se hai questa variabile:

Vector3 mPosition;

In genere rappresenta solo la posizione, ovvero dove si trova nello spazio 3d.

Se hai questa variabile:

Vector3 mDirection;

Rappresenta generalmente la direzione. Tipicamente, questi vettori sono vettori unitari, cioè vettori di lunghezza 1 (ma non è sempre necessario). Un vettore unitario e un vettore Normalizzato sono la stessa cosa, sono entrambi di lunghezza 1. Questi vettori sono spesso usati con altri vettori per cambiare posizione.

Quando si normalizza un vettore, si perde la sua lunghezza (la sua grandezza), ma la direzione rimane la stessa. Ci sono situazioni in cui è necessaria solo la direzione (ad esempio quando si desidera spostare un oggetto in quella direzione) e avere la magnitudo (non unitaria) nel vettore introduce risultati di calcolo imprevisti.

Se hai bisogno di un vettore normale per un singolo calcolo, puoi usarlo myVec3.normalized, non influirà myVec3e se intendi utilizzare spesso quel vettore normalizzato, dovresti probabilmente creare una variabile:

Vector3 myVec3Normalized = myVec3.normalized;

per evitare ripetute chiamate al normalizedmetodo.

E se vedi le variabili:

Vector3 mVelocity;

Rappresenta generalmente una forza / velocità: questi vettori rappresentano una direzione e la loro grandezza (la loro lunghezza) è importante. Potrebbero anche essere rappresentati con Vector3 mDirection;e a float mSpeed;.

Tutti questi sono usati per quanto riguarda la loro origine locale, che può essere (0, 0, 0) o può essere un'altra posizione.

Ciò significa che la grandezza è semplicemente la distanza dal punto di origine (0, 0, 0)?

Si può vedere in questo modo, ma solo vedendo in questo modo potrebbe portare ad una errata comprensione.

Prima di tutto, un vettore non è un punto e un punto non è un vettore.

La differenza tra un vettore e un punto è la stessa tra una durata e un'ora del giorno . Il primo è un intervallo di tempo, il secondo è un singolo punto nel tempo. È ovviamente che 6 ore non sono le stesse delle 6. Non diresti "La gara dura l'una" e non diresti "Incontriamoci alle 13 ore". La gara dura un'ora - un intervallo - e ci si incontra alle 13 - un punto preciso nel tempo.

Lo stesso vale per vettori e punti. Un vettore è un intervallo - uno spostamento se vuoi. Punta in una certa direzione, e sì, ha una lunghezza.

Punti e vettori sono quindi correlati, proprio come la durata e l'ora del giorno. La gara inizia alle 13 e termina alle 15. Entrambi sono punti nel tempo. Ma 15 in punto - 13 in punto = 2 ore, una durata. La gara dura due ore, non le due.

Lo stesso vale per i punti. La differenza tra il punto A e B è indicata come ⃗v = B - A, dove ⃗v indica un vettore e A e B indicano i punti.

Ora, c'è qualcosa che chiama un vettore di posizione . È possibile prendere in considerazione un vettore un punto in una certa misura, quando si dice che i vettori punti dal origine ad un certo altro punto. In altre parole: se tutti i tuoi amici sanno che chiami le ore del giorno come durate dalla mezzanotte (0), puoi dire "Ci incontriamo alle 6 ore". Saprebbero che 0 in punto + 6 ore = 6 in punto e quindi, quando incontrarti. Questo è in effetti ciò che fanno i tempi navali. "Ci incontriamo alle o-seicento ore" significa 6 in punto.

Quindi il vettore <1,2,3> punta al punto (1,2,3), se si considera l'origine il punto di ancoraggio, e sì, la lunghezza di questo vettore è la distanza di quel punto dall'origine.

Ma il vettore <1,2,3> punta anche da (1,1,1) a (2,3,4), e in tal caso la sua lunghezza indica la distanza tra questi due punti.

Quindi, come puoi vedere, un vettore ha una lunghezza perché non è un punto, ma un intervallo - uno spostamento.

Un vettore può rappresentare una linea tra due punti nello spazio 3d (direzione e distanza) o una posizione nello spazio 3d (la lunghezza è la distanza dall'origine).

Se hai il punto A e il punto B, BA = AB = la direzione e la distanza che dovresti percorrere per andare da A a B.

Ciò che Unity dice sui punti rispetto ai vettori non ha senso nel lungo periodo, poiché le API della geometria selezionano solo definizioni distinte per rendere lo strumento più accessibile, non corrispondono al modo in cui queste cose sono concettualizzate nella geometria. Dai un'occhiata alle implementazioni delle classi, se puoi. Perché è arbitrario, conoscerne la definizione è l'unico modo per capire qual è il concetto. Informativa completa, non ho esperienza Unity.

Un vettore è un punto in uno spazio vettoriale , in quanto il concetto di un punto nella geometria è codificato da elementi dell'insieme sottostante. Uno spazio vettoriale ha un vettore distinto, chiamato origine o 0 . L'algebra lineare è un tentativo di codificare un frammento di geometria euclidea con un'origine algebrica.

La freccia e la sua lunghezza

I movimenti attraverso uno spazio di punti vengono spesso interpretati come tutte le frecce dalla sorgente / prima dei punti al loro obiettivo / dopo i punti.

Una funzione di due argomenti può essere applicata a un argomento per produrre una funzione di un argomento - possiamo parlare di x +, la funzione che porta ogni vettore y al vettore x + y . Questa è la traduzione associata con l'aggiunta di x . Le frecce associate vanno dai punti y ai punti x + y . Vedi: applicazione parziale , curry .

Quindi perché usiamo solo una freccia ? La freccia dall'origine punta a un vettore specifico, la x in x +: l'origine è l'identità dell'aggiunta vettoriale. Quindi, possiamo recuperare la traduzione x + solo dal suo valore x +0 = x .

Come rappresentazione grafica dello spazio, la rappresentazione della freccia ha a che fare con la nostra capacità di estrapolare visivamente o fisicamente l'effetto di una traduzione dal valore che lo determina. Quando abbiamo quella capacità?

Dare una norma allo spazio vettoriale rendendolo uno spazio vettoriale normato significa fornire una nozione della lunghezza di un vettore che abbia senso in quanto distanza da 0. Inoltre, questa deve essere una distanza che soddisfa la disuguaglianza del triangolo, che è un forte vincolo su come le lunghezze di due vettori si relazionano a quelle della loro somma. Dalla lunghezza possiamo definire la distanza per rendere questo uno spazio metrico e una geodetica è un percorso intrinsecamente dritto in quanto è il più corto possibile. La norma euclidea induce la distanza euclidea e la geodetica sono i segmenti di linea delle frecce, ma se si disegnano le frecce come geodetiche usando norme diverse, potresti estrapolare l'effetto geometrico della traduzione dalla geodetica per conoscere la geometria.

Il significato di punto e vettore

In alcuni casi nel fare la geometria dei giochi, il tuo spazio di punti non è uno spazio vettoriale . Uno spazio affine di dimensione n può essere incorporato in uno spazio proiettivo di dimensione n . Le mappe affini si riducono a proiettività. Le proiettivita 'ti permettono anche di fare FOV, penso che non sia affine. Le proiettilità hanno vantaggi:

Lo spazio n proiettivo su un campo può essere costruito dallo spazio lineare ( n +1) (spazio vettoriale), trattando i punti dello spazio proiettivo come linee attraverso l'origine dello spazio lineare. Gli aerei attraverso l'origine a loro volta danno linee proiettive. Moltiplicare i vettori per una matrice fissa è una mappa lineare , ecco a cosa serve la moltiplicazione della matrice. Le mappe lineari preservano l'origine e sono compatibili con l'incidenza. In particolare, se f è un automorfismo lineare ( corrispondente a una matrice invertibile ( n +1) x ( n +1)) e due linee L, M attraverso l'origine si estendono su un piano A , quindif L, f M sono linee che attraversano l'origine f f A , quindi f manterrà anche l'incidenza sullo spazio proiettivo - una matrice invertibile ha una proiettività associata. La moltiplicazione delle matrici codifica la composizione delle mappe lineari, e quindi delle proiettività.

Rimuovendo l'origine dallo spazio lineare, tutti i punti su una data linea attraverso l'origine sono multipli scalari l'uno dell'altro. Sfruttando questo fatto, l' omogeneizzazione sceglie un punto lineare per sostituire ogni punto proiettivo e una matrice invertibile per sostituire ogni trasformazione proiettiva (come in questo video 2D -> mappe affini 2D come 3D -> mappe lineari 3D ), in un tale modo in cui i rappresentanti sono chiusi sotto prodotti matrice-matrice e matrice-vettore e danno e sono dati da cose proiettive uniche. Questa descrizione della costruzione del piano proiettivo dal piano lineare lega alcune cose.

Quindi, nella pipeline della matrice di proiezione vista modello, stiamo usando i vettori per rappresentare i punti del nostro spazio proiettivo, ma lo spazio proiettivo non è uno spazio vettoriale e non tutti i vettori nello spazio vettoriale che stiamo usando rappresentano punti della nostra geometria (vedi foto del piano affine a destra ). Usiamo matrici di traduzione anziché somma vettoriale se vogliamo traduzioni. A volte, le persone chiamano vettori di punti proiettivi o affini, specialmente quando si utilizza una configurazione in questa vena.

La lunghezza (o magnitudine) del vettore è square root of (x*x+y*y+z*z). I vettori sono sempre considerati come un raggio che passa dall'origine di <0,0,0> attraverso il punto descritto nel vettore<x,y,z>

La documentazione dell'unità su questo si trova qui .