Risposte:
La rappresentazione a quattro variabili di un piano sono i coefficienti nell'uguaglianza
ax + di + cz = d
Questo può essere visto come N = ( a , b , c ) essendo un vettore normale e d essendo una distanza dall'origine delle coordinate (in unità della lunghezza di N ), e possiamo anche scrivere questa equazione come N · P = d , dove P = ( x , y , z ).
Questa rappresentazione non consente di definire una specifica "origine del piano" - i piani matematici non hanno origini. (Tuttavia, accade che poiché N · P = d possiamo impostare P = ( d | N | -2 ) N e ottenere un punto specifico sul piano: il punto più vicino all'origine del sistema di coordinate .)
Se cambi = = in <o>, descrivi un "mezzo spazio", che può essere usato per cose come un pavimento infinito in un motore fisico; il semispazio opposto si ottiene negando sia N che d .
"Tipicamente" è una parola abbastanza soggettiva, nella mia esperienza ci sono diversi modi per descrivere un piano in uno spazio 3D che sono più comuni a causa delle proprietà che tali costruzioni mostrano.
Per quanto riguarda la tua domanda, è possibile utilizzare 4 valori reali per determinare un piano in uno spazio 3D. Come hai sottolineato, a, b, c possono essere i componenti di un vettore perpendicolare al piano desiderato. Se N = (a, b, c) è il nostro vettore perpendicolare, potresti trovare un punto nel tuo piano che è P = d N per alcuni d reali e positivi. Qui dici che d è la distanza dall'origine in termini di N ; se N è un vettore unitario, allora d è la distanza tra l'origine e il piano nel modo in cui il termine "distanza" è comunemente inteso.
Sorprendentemente puoi definire qualsiasi possibile piano orientato perché puoi usare valori negativi di d ; così facendo perdi il significato diretto di d come distanza finché non lo metti in un valore assoluto ( | d | ).
Per quanto ne so, un piano è generalmente definito da una posizione, per dirci dove si trova l'origine, e un normale puntamento verso l'alto dal piano per dirci quale orientamento abbiamo. È pratica comune usare due vettori per questo.
Con quattro variabili non hai abbastanza variabili per definire un piano che non ha un'origine in (0,0,0) o non abbastanza variabili per tenere conto di tutte le rotazioni.
Il minimo di cui avremmo bisogno per un piano nello spazio euclideo 3D con un'origine che non è a (0,0,0) e che può essere orientato in qualsiasi modo desideriamo è 5. Immagina la sfera unitaria, abbiamo bisogno di 3 variabili per definire dove l'origine della sfera unitaria è (X, Y, Z). Quindi abbiamo bisogno di due variabili per definire dove si trova il 'su' del piano. Possiamo farlo usando il vettore descritto andando dall'origine della sfera verso la sua superficie data una latitudine e una longitudine.
Non saprei come ricostruire un piano con solo quattro variabili. Forse stai lavorando in un dominio ristretto (il piano è sempre a (0,0,0) e le quattro variabili sono un quaternione?) O le variabili non sono scalari? In quale contesto stai usando questo a, b, c, d?