Nel controllo PID, cosa rappresentano i poli e gli zeri?

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Ogni volta che leggo un testo sul controllo (ad es. Controllo PID), spesso cita "poli" e "zeri". Che cosa significano con quello? Quale stato fisico descrive un polo o uno zero?

control pid

— Rocketmagnet
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Ah, ricordo che abbiamo imparato quelle cose sotto controllo, ma le ho dimenticate. Qualcosa su dove una funzione arriva a 0 o all'infinito (zeri e poli) e che c'erano delle curve che iniziarono da zeri a poli nello spazio-s (era che dopo la trasformazione dei laplas?) O qualcosa del genere. Ricordo che i diagrammi erano belli, ma non ricordo nient'altro!

— Shahbaz,

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La funzione che descrive il modo in cui gli input di un sistema vengono mappati all'output del sistema viene definita funzione di trasferimento. $T(\mathbf{x})$

Per i sistemi lineari la funzione di trasferimento può essere scritta come dove e sono polinomi, ovvero $N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$ $N$ $D$

T (x) = \frac{N (x)}{D (x)}

$T(\mathbf{x}) = {N(\mathbf{x})\over D(\mathbf{x})}$

Gli zeri del sistema sono i valori di che soddisfano l'istruzione . In altre parole sono le radici del polinomio . Come . si avvicina a zero, il numeratore della funzione di trasferimento (e quindi la stessa funzione di trasferimento) si avvicina al valore 0. $x$ $N(\mathbf{x}) = 0$ $N(\mathbf{x})$ $N(\mathbf{x})$

Allo stesso modo i poli del sistema sono i valori di che soddisfano l'istruzione . In altre parole sono le radici del polinomio . Quando avvicina a un polo, il denominatore della funzione di trasferimento si avvicina a zero e il valore della funzione di trasferimento si avvicina all'infinito. $x$ $D(\mathbf{x}) = 0$ $D(\mathbf{x})$ $D(\mathbf{x})$

I poli e gli zeri ci consentono di capire come un sistema reagirà ai vari input. Gli zeri sono interessanti per la loro capacità di bloccare le frequenze mentre i poli ci forniscono informazioni sulla stabilità del sistema. Generalmente tracciamo i poli e gli zeri nel piano complesso e diciamo che un sistema è stabile con input-bounded-output (BIBO) stabile se i poli si trovano nella metà sinistra del piano complesso (LHP - Left Half Plane).

Infine, quando progettiamo un controller, stiamo effettivamente manipolando i suoi poli e zeri in modo da raggiungere parametri di progettazione specifici.

— DaemonMaker
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Grazie, ma non mi sento più saggio. Puoi spiegare cosa significano zeri e poli in un contesto di controllo?

— Rocketmagnet,

Ho aggiunto un po 'di più per la tua richiesta. Spero che aiuti.

— DaemonMaker,

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Penso che il problema qui @Rocketmagnet sia che questo è un argomento piuttosto ampio. Lo metterei probabilmente nella categoria di Se riesci a immaginare un intero libro che risponda alla tua domanda, stai chiedendo troppo .

— Mark Booth

Per i laici, devi anche chiarire che gli ingressi e le uscite si trovano qui nel dominio Laplace . Come afferma Mark Booth, la ragione per cui i poli e gli zeri contano nel controllo è dovuta alla complessa integrazione dei contorni e al fatto che le equazioni differenziali possono essere trasformate in equazioni algebriche nel dominio di Laplace. I poli possono essere considerati come caratterizzanti sia di quanto un sistema oscilla nel tempo (ondulazione), sia di come decresca esponenzialmente o cresce nel tempo. Nel complesso, tuttavia, l'intuizione deve essere appresa e non esiste una spiegazione fisica rapida e veloce ...

— daaxix

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Queste funzioni di trasferimento polinomiale si verificano quando si esegue una trasformata di Laplace su un'equazione differenziale lineare che descrive effettivamente il robot o è il risultato della linearizzazione della dinamica del robot in uno stato desiderato. Pensala come una "espansione di Taylor" in quello stato.

La trasformata di Laplace è la generalizzazione della trasformata di Fourier in funzioni che non sono periodiche. Nell'ingegneria elettrica, la trasformata di Laplace viene interpretata come la rappresentazione del sistema nel dominio della frequenza , ovvero descrive come il sistema trasmette qualsiasi frequenza dal segnale di ingresso. Gli zeri descrivono quindi le frequenze che non vengono trasmesse. E come già accennato da DaemonMaker, i poli sono importanti quando si considera la stabilità del sistema: la funzione di trasferimento del sistema va all'infinito vicino ai poli.

Cosa significano in un contesto di controllo:

Poli : ti dicono se un sistema (che può anche essere un nuovo sistema, in cui hai inserito un circuito di feedback con una legge di controllo) è stabile o meno. Di solito si desidera che un sistema sia stabile. Quindi, vuoi che tutti i poli del sistema si trovino nel mezzo piano sinistro (cioè le parti reali dei poli devono essere più piccole di zero). I poli sono gli autovalori della matrice del sistema . Fino a che punto si trovano sul semipiano sinistro indica quanto velocemente il sistema converge al suo stato di riposo. Più sono lontani dall'asse immaginario, più velocemente converge il sistema.

Zeri : possono essere utili se hai un palo sul mezzo piano destro o ancora sul mezzo piano sinistro, ma troppo vicino all'asse immaginario: con una modifica intelligente del tuo sistema, puoi spostare gli zeri sui poli indesiderati per annientare loro .

— Daniel Eberts
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Puoi aggiungere alcune immagini per illustrare questo?

— Ian,

Scusa per la mia lunga assenso. Ha a che fare con molto lavoro di studio che attualmente devo fare. Se ancora lo desidero, posso aggiungerne uno non appena ho tempo per farlo.

— Daniel Eberts,

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Contrariamente a quanto detto, l'annullamento polo / zero non viene mai eseguito quando il polo dell'impianto da controllare si trova nell'RHP. Il motivo è che anche una piccolissima differenza tra il polo e lo zero aggiunto per annichilarlo verrà migliorata e farà divergere la risposta del sistema. Ricorda: mai e poi mai !

— Ugo Pattacini,

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Non posso davvero parlare per gli zeri della funzione di trasferimento, ma i poli della funzione di trasferimento hanno sicuramente un'interpretazione significativa.

Per comprendere questa interpretazione, devi ricordare che il sistema che vogliamo controllare è in realtà una delle due cose: un'equazione differenziale o un'equazione di differenza . In entrambi i casi, l'approccio comune per risolvere queste equazioni è determinare i loro autovalori. Ancora più importante, quando il sistema è lineare, gli autovalori dell'equazione differenziale / differenza corrispondono esattamente ai poli della funzione di trasferimento. Quindi, ottenendo i poli, stai davvero ottenendo gli autovalori dell'equazione originale. Sono gli autovalori dell'equazione originale (secondo me) che determinano veramente la stabilità del sistema; è solo una sorprendente coincidenza che i poli di un sistema lineare siano esattamente gli autovalori dell'equazione originale.

Per illustrare questo, considerare i due casi separatamente:

Caso 1: equazione differenziale

Quando tutti gli autovalori di un'equazione differenziale hanno una parte reale negativa, allora tutte le traiettorie (cioè tutte le soluzioni) si avvicinano alla soluzione di equilibrio all'origine (x = 0). Questo perché le soluzioni di un'equazione differenziale hanno tipicamente la forma di una funzione esponenziale come , dove è l'autovalore. Pertanto, la funzione come solo se . Altrimenti se , la quantità molto probabilmente esploderà all'infinito in grandezza o semplicemente non convergere a zero. $x(t)=Ce^{\lambda t}$ $\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$ $t\rightarrow \infty$ $Re(\lambda)<0$ $Re(\lambda)\ge 0$ $e^{\lambda t}$

Caso 2: equazione delle differenze

Quando tutti gli autovalori di un'equazione di differenza sono inferiori a 1 in grandezza, allora tutte le traiettorie (cioè tutte le soluzioni) si avvicinano alla soluzione di equilibrio all'origine (x = 0). Questo perché le soluzioni di un'equazione di differenza sono in genere della forma di una sequenza esponenziale come , dove è l'autovalore. Pertanto, la sequenza come solo se . Altrimenti se , la quantità esploderà all'infinito in grandezza o semplicemente non convergere a zero. $x_t=C\lambda^t$ $\lambda$ $x_t\rightarrow 0$ $t\rightarrow\infty$ $|\lambda|<1$ $|\lambda|\ge 1$ $\lambda^t$

In entrambi i casi, i poli della funzione di sistema e gli autovalori dell'equazione differenziale / differenza (omogenea) sono esattamente la stessa cosa! Secondo me, ha più senso interpretare i poli come autovalori perché gli autovalori spiegano la condizione di stabilità in modo più naturale.

— Paolo
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