RRT * garantisce l'ottimalità asintotica per una metrica del costo minimo di liquidazione?

È stato dimostrato che l' algoritmo di pianificazione del movimento basato sul campionamento ottimale $\text{RRT}^*$ (descritto in questo documento ) produce percorsi senza collisioni che convergono nel percorso ottimale all'aumentare del tempo di pianificazione. Tuttavia, per quanto posso vedere, le prove e gli esperimenti di ottimalità hanno ipotizzato che la metrica del costo del percorso sia la distanza euclidea nello spazio di configurazione. Può anche cedere proprietà di ottimalità per altre metriche di qualità percorso, come la massimizzazione distanza minima dagli ostacoli durante il percorso? $\text{RRT}^*$

Per definire il gioco minimo: per semplicità, possiamo considerare un robot punto che si muove nello spazio euclideo. Per qualsiasi configurazione che si trova nello spazio di configurazione privo di collisioni, definire una funzione che restituisca la distanza tra il robot e l'ostacolo C più vicino. Per un percorso , la distanza minima è il valore minimo di per tutto . Nella pianificazione del movimento ottimale, si potrebbe desiderare di massimizzare la distanza minima dagli ostacoli lungo un percorso. Ciò significherebbe definire una metrica di costo tale che $q$ $d(q)$ $\sigma$ $\text{min_clear}(\sigma)$ $d(q)$ $q \in \sigma$ $c(\sigma)$ $c$ aumenta al diminuire della distanza minima. Una semplice funzione sarebbe . $c(\sigma) = \exp(-\text{min_clear}(\sigma))$

Nel primo documento che introduce , vengono fatte diverse ipotesi sulla metrica del costo del percorso in modo che le prove siano valide; una delle ipotesi riguardava l'additività della metrica di costo, che non vale per la metrica di autorizzazione minima sopra indicata. Tuttavia, nel più recente articolo di giornale che descrive l'algoritmo, molte delle ipotesi precedenti non erano elencate e sembrava che la metrica del costo minimo di liquidazione potesse essere ottimizzata dall'algoritmo. $\text{RRT}^*$

Qualcuno sa se le prove per l'ottimalità di $\text{RRT}^*$ possono contenere una metrica del costo minimo di liquidazione (forse non quella che ho dato sopra, ma un'altra che ha lo stesso minimo), o se sono stati condotti esperimenti supportare l'utilità dell'algoritmo per tale metrica?

— giogadi
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Non ho familiarità con la metrica del costo minimo di sdoganamento, anche se con il suo nome ho l'idea generale. È una funzione specifica o una classe di funzioni?

— DaemonMaker,

Buona domanda: poiché la metrica varia a seconda del robot, supponiamo che stiamo osservando un robot a punto olonomico che si muove nello spazio euclideo. In qualsiasi configurazione q, abbiamo una funzione d (q) che restituisce la distanza tra il robot punto e l'ostacolo C più vicino. Pertanto, per un percorso nello spazio di configurazione, la distanza minima dell'intero percorso è il valore minimo di d (q) per tutto q nel percorso.

— Giogadi,

Meta-domanda: quando mi viene raccomandato di modificare la domanda originale con chiarimenti che sono stati indicati nei commenti e in altre risposte?

— giogadi,

Questa è una buona meta-domanda e otterrebbe più risposta nella meta-robotica SE. ;) Tuttavia, è generalmente utile modificare la domanda per maggiore chiarezza. Raccomando in particolare di farlo quando le risposte suscitate non sono in linea con la domanda prevista.

— DaemonMaker,

Risposte:

$a|b$ $a$ $b$ $c(\cdot)$ $c(a|b)=min(c(a),c(b))$

Ti riferisci a (nel riferimento 1):

$\sigma_1$ $\sigma_2$ $\in X_{free}$ $c(\sigma_1|\sigma_2) = c(\sigma_1) + c(\sigma_2)$

Che è diventato (nel riferimento 3, Problema 2):

$\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma:c(\sigma_1)\leq c(\sigma_1|\sigma_2)$

Che non è ancora il caso della distanza minima di sicurezza.

Aggiornamento: data la restrizione attenuata sui costi del percorso, la tua scadenza suggerita (-min_clearance) sembra a posto.

— Josh Vander Hook
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La tua risposta mi ha fatto capire che la metrica così come l'ho descritta è in realtà mal posta. In genere desideriamo MASSIMIZZARE l'autorizzazione minima su un percorso, pertanto, in effetti, il costo di un percorso deve AUMENTARE in quanto lo spazio minimo di un percorso diminuisce. La prima funzione di costo che ho in mente per questo è c (sigma) = 1 / min_clearance (sigma), ma questo lascia la funzione indefinita ai limiti degli ostacoli, e credo che RRT * richieda che Q_free sia chiuso affinché le prove funzionino . Escludendo il problema dei confini, questa nuova funzione di costo sarebbe monotona come richiesto dalla dimostrazione.

— giogadi,

Suppongo che una semplice funzione di costo che eviti il problema dei confini possa essere c (sigma) = -min_clearance (sigma), ma non sono sicuro di cosa potrebbe fare una metrica negativa ad altre parti della prova RRT * ...

— giogadi

\geq

$\geq$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

δ

$\delta$

X_{f r e e}

$X_{free}$

Un'altra possibile metrica: c (sigma) = exp (-min_clear (sigma))

— giogadi

Mi piace la funzione di costo esponenziale migliore.

— Josh Vander Hook,

In una risposta precedente , siamo arrivati a concordare che una funzione di costo definita come

$c(\sigma) = \text{exp}(-\text{min_clear}(\sigma))$

soddisferebbe le proprietà richieste per RRT * per produrre ottimalità asintotica in questa metrica.

Tuttavia, dopo aver esaminato l'articolo IJRR che descrive RRT *, questa funzione di costo non soddisfa tecnicamente le ipotesi formulate nell'articolo. In particolare, questa funzione di costo viola la proprietà di limitazione , definita come:

$\exists k_c \quad c(\sigma) \leq k_c\text{TV}(\sigma), \forall \sigma \in \Sigma$

$\text{TV}(\sigma)$

$\sigma_0$ $q$ $\sigma_0$ $c(\sigma_0) = \text{exp}(-d(q)) > 0$

Mi chiedo se RRT * semplicemente non produrrà soluzioni asintoticamente ottimali con una tale funzione di costo, o se potrebbe ancora, ma forse quei presupposti semplificano le prove di ottimalità nel documento.

— giogadi
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