Galerkin discontinuo: vantaggi e svantaggi nodali vs modali

Esistono due approcci generali per rappresentare soluzioni nel metodo discontinuo di galerkin: nodale e modale.

1. Modale : le soluzioni sono rappresentate da somme di coefficienti modali moltiplicate per un insieme di polinomi, ad es. dove ϕ i sono solitamente polinomi ortogonali, ad es. Legendre . Un vantaggio di ciò è che i polinomi ortogonali generano una matrice di massa diagonale.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. Nodale : le celle sono composte da più nodi su cui è definita la soluzione. La ricostruzione della cellula si basa quindi sull'adattamento di un polinomio interpolante, ad es. dove l i è un polinomio di Lagrange. Un vantaggio di ciò è che puoi posizionare i tuoi nodi in punti di quadratura e valutare rapidamente gli integrali.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

Nel contesto di un grande complesso ( - 10 9 DOF) 3D miscelati strutturato / applicazione parallela strutturata con gli obiettivi di flessibilità, chiarezza di attuazione, ed efficienza, quali sono i vantaggi e svantaggi comparativi di ciascun metodo?$10^6$$10^9$

Sono sicuro che ci sia già buona letteratura là fuori, quindi se qualcuno potesse indicarmi qualcosa che sarebbe fantastico.

I compromessi di seguito si applicano ugualmente alla DG e agli elementi spettrali (o elementi finiti -version).$p$

Cambiare l'ordine di un elemento, come in -adaptivity, è più semplice per le basi modali perché le funzioni di base esistenti non cambiano. Questo non è generalmente rilevante per le prestazioni, ma ad alcune persone piace comunque. Le basi modali possono anche essere filtrate direttamente per alcune tecniche di antialiasing, ma questo non è un collo di bottiglia nelle prestazioni. Le basi modali possono anche essere scelte per esporre la scarsità all'interno di un elemento per operatori speciali (solitamente la lapponia e matrici di massa). Ciò non si applica ai coefficienti variabili o agli elementi non affini e i risparmi non sono enormi per l'ordine modesto tipicamente utilizzato in 3D.$p$

Le basi nodali semplificano la definizione di continuità degli elementi, semplificano l'implementazione delle condizioni al contorno, il contatto e simili, sono più facili da tracciare e portano a una migliore $h$-ellipicità negli operatori discretizzati (consentendo così l'uso di rasoi / precondizionatori meno costosi). È anche più semplice definire concetti utilizzati dai solutori, come le modalità del corpo rigido (basta usare le coordinate nodali) e definire alcuni operatori di trasferimento della griglia come quelli che sorgono nei metodi multigrid. Le discretizzazioni integrate sono anche prontamente disponibili per il precondizionamento, senza necessità di un cambio di base. Le discretizzazioni nodali possono utilizzare in modo efficiente la quadratura collocata (come con i metodi degli elementi spettrali) e la sottointegrazione corrispondente può essere utile per il risparmio energetico. L'accoppiamento tra elementi per equazioni del primo ordine è più scarso per le basi nodali, sebbene le basi altrimenti modali siano spesso modificate per ottenere la stessa sparsità.

Ero curioso di vedere alcune risposte a questa domanda, ma in qualche modo nessuno si preoccupa di rispondere ...

Per quanto riguarda la letteratura, mi piace molto il libro Spectral / hp Element Methods for Computational Fluid Dynamics (ora esiste anche una versione a copertina morbida più economica) e anche il libro di Hesthaven e Warburton . Questi due entrano in qualche dettaglio che ti aiuterà a implementare i metodi. Il libro di Canuto, Hussaini, Quarteroni e Zang è più teorico. Questo ha anche un secondo volume "Metodi spettrali: evoluzione a geometrie complesse e applicazioni a fluidodinamica".

Non lavoro sui metodi DG e non sono un esperto per giudicare i vantaggi del nodale rispetto al modale. Il libro di Karniadakis & Sherwin è più focalizzato sui metodi con continue espansioni modali. In questo tipo di metodo, sei obbligato a riordinare le modalità in due elementi vicini in modo tale che le modalità corrispondenti sull'interfaccia coincidano al fine di preservare la continuità dell'espansione globale. Inoltre, l'imposizione di condizioni al contorno richiede un'attenzione particolare poiché le modalità non sono associate a una posizione specifica sul confine.

Spero che qualcuno che abbia familiarità con questo tipo di metodi aggiunga ulteriori dettagli.