integrazione numerica in molte variabili

Let e essere una funzione in queste variabili. $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in [0,1]^n$ $f(\vec{x}): [0,1]^n \to \mathbb{C}$

Esiste uno schema ricorsivo per questo integrale iterato?

\int_{[0, 1]^{n}} \prod d x_{i} f (\vec{x})

$\int_{[0,1]^n} \prod dx_i \;f(\vec{x})$

Se e divido in 100 segmenti, abbiamo punti da sommare. Deve esserci un modo più intelligente. $n = 10$ $[0,1]$ $10^{20}$

In effetti, la funzione che desidero integrare è la misura Haar del gruppo Unitario.

\int_{U (n)} f (A) d A = \frac{1}{n!} \int_{[0, 2 π]^{n}} \prod_{j < k} | e^{i θ_{j}} - e^{i θ_{k}} |^{2} \cdot f (θ_{1}, \dots, θ_{n}) \frac{d θ_{1}}{2 π} \dots \frac{d θ_{n}}{2 π}

$\int_{U(n)} f(A) \ dA = \frac{1}{n!} \int_{[0,2\pi]^n} \prod_{j<k} \big|e^{i \theta_j} - e^{i \theta_k}\big|^2 \cdot f(\theta_1, \ldots, \theta_n) \ \frac{d \theta_1}{2\pi} \ \cdots \ \frac{d \theta_n}{2\pi}$

numerical-analysis fourier-analysis

— John Mangual
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Se la tua dimensione non è troppo grande, puoi anche considerare metodi di quadratura sparsa per il tuo integrale.

— Paolo

@Paul puoi spiegare di più questo argomento in una risposta? Probabilmente voterò in alto

— john mangual il

Risposte:

Per integrazioni con molte variabili, il metodo Monte Carlo di solito è adatto. Il suo errore diminuisce come dove N è il numero di punti equidistribuiti selezionati. Ovviamente questo non va bene per gli spazi di bassa dimensione (1D e 2D) in cui esistono metodi di ordine elevato. La maggior parte di questi metodi deterministici, tuttavia, prende un gran numero di punti in dimensioni superiori. Ad esempio, uno schema 1D del 1 ° ordine è $O (\sqrt{N})$ in 2D e $O(\sqrt{N})$ in 3D. Il punto di forza del metodo Monte Carlo è che la convergenza dell'errore è indipendente dalla dimensione dello spazio. Non importa se il tuo spazio è 1D o 100D, è $O(N^{\frac{1}{4}})$ . $O (\sqrt{N})$

Poiché è probabilistico, tuttavia, è necessario integrarlo più volte utilizzando un determinato numero di punti per trovare una deviazione standard e una stima dell'errore.

— Godric Seer
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Per l'integrazione, l'uso di quasi-Monte-Carlo, ad esempio usando sequenze di Sobel, è leggermente migliore.

— Lutz Lehmann,

Ah, sì, ho dichiarato punti equi-distribuiti (oltre pseudo-casuali) ma non ho esplicitamente differenziato tra i due.

— Godric Seer,

\frac{1}{n} \sum f (x_{i}) \approx \int_{[0, 1]^{n}} f d x

$\frac{1}{n} \sum f(x_i) \approx \int_{[0,1]^n} f \ dx$

Sì, la sequenza di Sobol creerebbe una buona distribuzione di punti. quasi-Monte-Carlo è probabilmente uno dei metodi migliori per il tuo problema.

— Godric Seer,

La quadratura a griglia sparsa è un approccio alternativo per l'integrazione in dimensioni superiori.

La quadratura si basa sulla valutazione di una somma ponderata di valori di funzione in punti "ottimali" specifici. La quadratura tradizionale utilizza una struttura a griglia del prodotto tensore in dimensioni superiori, il che significa che dovresti valutare la funzione in un numero di punti esponenzialmente crescente man mano che la dimensione aumenta.

Il trucco per ridurre la quadratura della griglia è che è possibile ottenere la stessa precisione dell'ordine (in senso asintotico) utilizzando un piccolo sottoinsieme della griglia del prodotto tensore. I punti sparsi che scegli finiscono per essere quelli che integrano accuratamente i monomi fino al grado totale desiderato . I risparmi computazionali (rispetto alla griglia del prodotto tensore) aumentano significativamente all'aumentare della dimensione.

Ci sono, tuttavia, degli svantaggi di questo metodo che dovresti conoscere.

Questo metodo non funziona bene se la tua funzione non è fluida (o altrimenti non ben approssimata dalle funzioni polinomiali).
Mentre l'ordine di precisione della quadratura della griglia sparsa può essere equivalente a una griglia del prodotto tensore, l'accuratezza relativa può essere molto peggio. Questo perché la costante di fronte all'ordine di precisione della griglia sparsa può essere molto grande.
Le griglie sparse funzionano bene per dimensioni relativamente ridotte. Ma arriva una dimensione dopo la quale probabilmente staresti meglio usando un altro metodo (come monte carlo o le sue varianti).

Per ulteriori informazioni sulle griglie sparse, raccomando le griglie sparse di Burkardt in dimensioni elevate . Se sei interessato al codice per generare griglie sparse, potresti prendere in considerazione questi file matlab .

— Paolo
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