Qual è lo stato dell'arte nella risoluzione di PDE parabolici di dimensione superiore (equazione di Schrödinger multielettrone)

Qual è lo stato dell'arte attuale per risolvere PDE parabolici di dimensioni superiori (3-10) nel dominio complesso con poli semplici (della forma ) e assorbire le condizioni al contorno?$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

In particolare, sono interessato a risolvere l'equazione di Schrödinger multielettrone:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

Per una molecola biatomica con più di 1 elettrone.

Le soluzioni per l'equazione sono in Se il numero di elettroni èabbastanza piccolo, puoi semplicemente usare qualsiasimetodotradizionale. Come un metodo di discretizzazione del dominio (differenza finita, elemento finito, elemento limite) o un metodo pseudospettrale. Poiché risolvere questa equazione non è più difficile che risolvere un'equazione d'onda multidimensionale.

Nel caso di sistemi più grandi è necessario qualche trucco per ottenere la soluzione. Sostituiamo l'interazione elettrone-elettrone per l'interazione di un elettrone con una nuvola di elettroni (un'approssimazione del campo medio del resto di essi), e quindi risolviamo in modo autoconsistente (a causa della non linearità che proviene dal campo medio termine). Questo viene fatto in Hartree-Fock and Density Functional Theory (DFT). Dove l'equazione differenziale originale viene trasformata in una formulazione variazionale.

La DFT è oggi il metodo più comune e il vantaggio è che tutte le equazioni sono formulate in termini di densità elettronica e non in termini di equazioni d'onda. Quindi, le equazioni si trovano in uno spazio tridimensionale. Un libro che descrive entrambi questi metodi è

• Thijssen, Jos. Fisica computazionale. Cambridge University Press, 2007. Collegamento Amazon .

Vuoi risolvere da 3 a 10 sistemi di particelle (3D per particella)? Per quanto ne so, le teorie sul campo medio non funzionano particolarmente bene per così poche particelle, ma sembra che ci sia stato un lavoro DFT su molecole diatomiche.

È un sistema in cui Born-Oppenheimer è valido? In tal caso, potrei essere propenso ad espandere la funzione d'onda elettronica usando una combinazione lineare di determinanti di Slater, possibilmente usando una griglia sparsa o griglie spettrali sparse. Questo documento potrebbe forse aiutare .

Un'altra opzione è provare a utilizzare un approccio strettamente vincolante, sebbene il fatto che tu abbia menzionato l'assorbimento delle condizioni al contorno suggerisce che potresti pensare a problemi che coinvolgono la ionizzazione / dissociazione. La TB sarebbe utile soprattutto se si cercasse di approssimare gli stati di basso livello.

Forse qualcosa come il metodo Hartree-Fock dipendente dal tempo multi-configurazionale potrebbe funzionare qui MCTDHF .

Infine, potresti esaminare i metodi quantistici di Monte Carlo. Questi sono i metodi con cui si ottengono modelli funzionali di scambio e correlazione per singoli atomi per eseguire calcoli DFT. Sembra che ci siano estensioni poliatomiche. (Sono fuori dai privilegi di collegamento).

$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

Da questa considerazione segue che non è possibile considerare il problema con tutti gli elettroni contemporaneamente: è necessario limitarsi a uno o due elettroni alla volta. Questo naturalmente ti porta a metodi come il metodo Hartree Fock che scorre sugli elettroni mantenendo fisso il resto del sistema.

Non conosco abbastanza bene il campo, ma immagino che sull'argomento siano presenti numerosi articoli di recensioni molto citati e ben scritti.