Osservazione sconcertante sulla regione di stabilità del metodo Runge-Kutta del quinto ordine

Mi sono imbattuto in un'osservazione sconcertante sul giornale

PJ van der Houwen, Lo sviluppo di metodi di Runge-Kutta per equazioni differenziali parziali, Appl. Num. Matematica. 20: 261, 1996

Alle righe 8 e seguenti a pagina 264, van der Houwen scrive:

"Per i polinomi di Taylor questo implica che l'intervallo di stabilità immaginario è vuoto per "$p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

dove il polinomio di Taylor si riferisce al polinomio di stabilità (espansione troncata di intorno a x = 0 ) del metodo Runge-Kutta e p è l'ordine (vedi pagina 263). Presumo di aver frainteso qualcosa perché il metodo Runge-Kutta del quinto ordine non ha un vuoto intervallo di stabilità immaginaria per quanto ne so. Da quello che ricordo, il limite immaginario è di circa 3,4.$\exp(x)$$x=0$

Qual è il mio malinteso?

l'affermazione di van der Houwen è corretta, ma non è un'affermazione su tutti i metodi Runge-Kutta del quinto ordine. I "polinomi di Taylor" a cui si riferisce sono (come sembra che tu sappia) solo i polinomi di grado che approssimano exp ( z ) per ordinare p :$p$$\exp(z)$$p$

Per il polinomio di quinto ordine, risulta che per ϵ piccolo , quindi la regione di stabilità di un metodo avente P 5 ( z ) come polinomio di stabilità non include alcun vicinato dell'origine sull'asse immaginario . Questo è, in termini precisi, ciò che dice van der Houwen.$|P_5(i\epsilon)|>1$$\epsilon$$P_5(z)$

La fonte più probabile della tua confusione è ciò che si intende per "metodo Runge-Kutta del quinto ordine". Esistono (infinitamente) molti metodi Runge-Kutta di quinto ordine, ma i più noti non hanno come polinomio di stabilità. Perché? Come ha dimostrato John Butcher , un metodo Runge-Kutta del quinto ordine deve avere almeno sei tappe . Di solito, il polinomio di stabilità di un metodo con sei (o più) stadi avrebbe un grado sei (o più). Ad esempio, ciascuno dei metodi del quinto ordine elencati in questa pagina di Wikipedia utilizza esattamente sei stadi e ha un polinomio di stabilità di grado sei.$P_5(z)$

È possibile per un metodo del quinto ordine avere come polinomio di stabilità? Sì; un metodo di estrapolazione esplicita del quinto ordine (come quelli ben noti recensiti in questo mio documento ) lo farebbe. Si noti inoltre che un metodo Runge-Kutta p- stage con polinomio di stabilità P 5 ( z ) sarà accurato per ordinare 5 per ODE lineari, sebbene non per ODE non lineari.$P_5(z)$$p$$P_5(z)$

Infine, è facile commettere errori nel determinare l'estensione dell'intervallo immaginario di stabilità per i metodi Runge-Kutta di alto ordine. Questo perché il confine della regione di stabilità per tali metodi è estremamente vicino all'asse immaginario . Pertanto, errori di arrotondamento possono portare a conclusioni errate; dovrebbero essere usati solo calcoli esatti (ovviamente, la rilevanza del confine della regione di stabilità a fini pratici in queste circostanze potrebbe certamente essere discussa).

Ad esempio, ecco un diagramma della regione di stabilità del metodo del quinto ordine della coppia Fehlberg 5 (4):

L'intervallo immaginario di stabilità è vuoto, ma non è possibile distinguerlo dall'immagine a questa risoluzione! Si noti che la regione include chiaramente parte dell'asse immaginario, ma nessun intervallo sull'origine.

Nel frattempo, ecco la trama del metodo del quinto ordine della coppia Dormand-Prince 5 (4):

$[-1,1]$

$P_p(z)$

Potresti anche essere interessato al pacchetto NodePy , che ha prodotto i grafici sopra e che può essere usato per determinare con precisione cose come l'intervallo immaginario di stabilità di un metodo (disclaimer: ho creato NodePy).