Come determinare se una soluzione numerica a un PDE converge in una soluzione continua?

Il teorema di equivalenza di Lax afferma che la coerenza e la stabilità di uno schema numerico per un problema di valore iniziale lineare è una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza. Ma per problemi non lineari, i metodi numerici possono convergere in modo molto plausibile a risultati errati, nonostante siano coerenti e stabili. Ad esempio, questo documento mostra come un metodo Godunov del primo ordine applicato alle equazioni di acque poco profonde linearizzate 1D converge in una soluzione errata.

Evidentemente l'auto-convergenza sotto il perfezionamento della mesh e del passo temporale non è sufficiente, ma le soluzioni esatte non sono generalmente disponibili per i PDE non lineari, quindi come si può determinare se un metodo numerico converge in una soluzione autentica?

pde stability convergence

— Jed Brown
fonte

Il cosiddetto metodo di soluzioni fabbricate rende disponibili soluzioni esatte per tutti i problemi. Potrebbe non essere in grado di generare il tipo di soluzioni problematiche che descrivi, ma non è possibile che soluzioni esatte non siano mai disponibili.

— Bill Barth,

Penso che questo sia difficile qui dal momento che dovresti indovinare una soluzione con il tipo di discontinuità che non è ben approssimata dal metodo della soluzione.

— Matt Knepley,

Concordo sul fatto che è probabilmente difficile produrre soluzioni che stimolino le modalità problematiche menzionate da Jed. Volevo solo sottolineare che le soluzioni esatte sono sempre disponibili per i test. Non so cosa succede se produci una soluzione per le equazioni linearizzate in acque poco profonde 1D usando, diciamo, un mix di funzioni di trigoni ed esponenziali (tipiche delle soluzioni esatte di MoM), gira la manovella per ottenere i termini sorgente corrispondenti ed esegui attraverso uno schema Godunov del 1 ° ordine. Forse Jed può provarci e riferire.

— Bill Barth,

Il MoM è un ottimo strumento, ma in questo caso il problema è che la diffusione è applicata male all'interno di uno shock. Ovunque, la diffusione convergente a zero su ogni equazione è ugualmente accettabile, ma la diffusione non converge a zero all'interno di uno shock, quindi l'applicazione della diffusione numerica a ciascun termine comporta ugualmente dinamiche errate. Scriverò una lunga risposta a questa domanda quando avrò tempo, se nessuno mi batte.

— Jed Brown,

@Jed, non dovremmo LET applicare alle equazioni linearizzate?

— Matt Knepley,

Risposte:

Esistono due principali classi di soluzioni da discutere al riguardo.

Soluzioni "sufficientemente sufficienti"

Nel documento classico di Strang viene mostrato che il teorema di equivalenza di Lax (cioè l'idea che coerenza più stabilità implica convergenza) si estende alle soluzioni PDE non lineari se hanno un certo numero di derivati continui . Si noti che la carta è focalizzata su problemi iperbolici, ma il risultato si ripercuote su problemi parabolici. Il numero di derivati necessari è un punto tecnico, ma questo approccio è generalmente applicabile a soluzioni che soddisfano il PDE in senso lato.

Soluzioni discontinue

All'altro estremo, abbiamo "soluzioni" PDE con discontinuità , che tipicamente derivano da leggi di conservazione iperbolica non lineare . In questa situazione, ovviamente, non si può dire che la soluzione soddisfi il PDE in senso forte, poiché non è differenziabile in uno o più punti. Invece, deve essere introdotta una nozione di soluzione debole , che equivale essenzialmente a richiedere che la soluzione soddisfi una legge integrale di conservazione.

$L_p$ $L_\infty$

Se si può dimostrare che la sequenza converge in qualcosa e se il metodo è conservativo, allora il teorema di Lax-Wendroff garantisce che converge in una soluzione debole della legge di conservazione. Tuttavia, tali soluzioni non sono uniche . Determinare quale soluzione debole è "corretta" richiede informazioni che non sono contenute nella PDE iperbolica. Generalmente, le PDE iperboliche si ottengono trascurando i termini parabolici in un modello continuo e la soluzione debole corretta può dipendere esattamente da quali termini parabolici sono stati scartati (quest'ultimo punto è il focus del documento collegato alla domanda sopra ).

Questo è un argomento ricco e coinvolto e la teoria matematica è lungi dall'essere completa. La maggior parte delle prove di convergenza riguarda problemi 1D e si basa su tecniche specializzate. Pertanto, quasi tutte le attuali soluzioni computazionali delle leggi di conservazione iperbolica nella pratica non possono essere dimostrate convergenti con gli strumenti esistenti. Per una discussione pratica dal punto di vista computazionale, vedere il libro di LeVeque (capitoli 8, 12 e 15); per un trattamento più rigoroso e dettagliato suggerirei Dafermos .

— David Ketcheson
fonte

Ho poco da offrire qui se non quello di sottolineare che ogni volta che i metodi numerici hanno problemi con le equazioni iperboliche (e convergono nella soluzione sbagliata), di solito non è a causa di shock. Piuttosto, le aree con cui hanno difficoltà sono le onde di rarefazione - dove la soluzione è liscia.

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Wolfgang Bangerth
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Questo è un punto eccellente, sebbene sia ortogonale alla domanda in senso stretto. Affronti il problema della convergenza verso la soluzione debole corretta , che in pratica è più problematica rispetto alla questione della convergenza in una soluzione debole.

— David Ketcheson,