Che dire di questa semplice stima dell'errore per PDE lineare?

Sia $\Omega$ un dominio convesso di Lipschitz limitato in modo poligonale in $\mathbb R^2$ , sia $f \in L^2(\Omega)$ .

Quindi la soluzione del problema di Dirichlet in , su ha una soluzione unica in ed è ben posata, cioè per qualche costante che abbiamo .Ω traccia u = 0 ∂ Ω H $\Delta u = f$$\Omega$$\operatorname{trace} u = 0$$\partial\Omega$$H^2$$C$$\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

Per un'approssimazione di elementi finiti , diciamo, con elementi nodali su una griglia uniforme, abbiamo la stima dell'errore$u_h$

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

Sembra (forse mi sbaglio) che le persone di solito non usano la stima dell'errore evidente

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

che possiamo ottenere combinando le due disuguaglianze di cui sopra. Invece, gli stimatori di errori a posteriori sono sviluppati in varie forme. L'unica obiezione che posso immaginare contro l'equazione di cui sopra è che la costante potrebbe in pratica essere troppo pessimistica o non stimabile in modo affidabile.$C$

Il motivo per cui le persone preferiscono usare la prima stima, secondo me, è che il primo deriva naturalmente dall'ortogonalità di Galerkin della FEM, dalla proprietà di approssimazione dell'interpolazione e, soprattutto, dalla coercitività della forma bilineare (per il problema del valore limite dell'equazione di Poisson , è equivalente alla disuguaglianza di Poincaré / Friedrichs per le funzioni ): ‖ u - u h ‖ 2 H 1 ( Ω $H^1_0$ dovec1dipende dalla costante nella disuguaglianza di Poincaré / Friedrichs per lefunzioniH 1 0 ,Iuè il interpolazione diunello spazio degli elementi finiti, ec2dipende dagli angoli minimi della mesh.

$$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$$ $c_1$$H^1_0$$\mathcal{I}u$$u$$c_2$

Mentre la stima della regolarità ellittica è esclusivamente a livello di PDE, non ha nulla a che fare con l'approssimazione, più l'argomento sopra vale anche quando f ∈ H - 1 è una distribuzione.$\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$$f\in H^{-1}$

Passiamo ora al motivo per cui le stime di errore a posteriori sono ampiamente utilizzate, principalmente perché:

• È calcolabile, non esiste una costante generica nell'espressione delle stime.

• Lo stimatore ha la sua forma locale, che potrebbe essere l'indicatore di errore locale utilizzando nella procedura di raffinazione della mesh adattiva. Pertanto, il problema con le singolarità o geometrie veramente "cattive" potrebbe essere affrontato.

Entrambe le stime di tipo a priori che hai elencato sono valide, ci forniscono le informazioni sugli ordini di convergenza, tuttavia nessuna di esse potrebbe essere un indicatore di errore locale solo per un triangolo / tetraedro, perché nessuno dei due è calcolabile a causa della costante , né sono definiti localmente.

EDIT: Per una visione più generale della FEM per PDE ellittici, consiglio vivamente di leggere il capitolo 0 del libro di Brenner e Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods , che comprende solo 20 pagine e copre brevemente quasi ogni aspetto dei metodi agli elementi finiti , dalla formulazione di Galerkin del PDE, alla motivazione per cui vorremmo utilizzare la FEM adattativa per affrontare alcuni problemi. Spero che questo ti possa aiutare di più.

$C$

$$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$$ $H^2$