Discretizzazione di elementi finiti spazio-tempo per PDE dipendenti dal tempo

Nella letteratura FEM, i metodi semi-variazionali sono in genere utilizzati nella soluzione di PDE dipendenti dal tempo. Non ho visto un approccio completamente variazionale, cioè dove lo spazio e il tempo sono discretizzati da FEM, forse consentendo l'uso di maglie spazio-tempo non strutturate. Sebbene i metodi di marcatura temporale possano essere più facili da implementare, c'è un motivo particolare per cui il meshing spazio-temporale non è praticabile? Immagino che uno debba adattare le maglie per rispettare le proprietà fisiche di un dato problema, ma non ne sono certo.

La discretizzazione spazio-temporale completa delle equazioni differenziali parziali dipendenti dal tempo è davvero una cosa. Se usi una mesh strutturata nel tempo (nel senso che la discretizzazione del tempo non dipende dallo spazio) e la scelta appropriata delle funzioni di prova e test, puoi adattare diversi metodi standard di time-stepping (Crank-Nicolson, Euler implicito o qualche Runge -Kutta schemi) in un framework Galerkin, che offre un approccio elegante per l'analisi. Questo è descritto, ad esempio, nel libro di Thomée Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems (Springer, 2nd ed., 2006) o nel documento di Chrysafinos e Walkington Error stime per i metodi discontinui di Galerkin per le equazioni paraboliche , (SIAM J. Numer. Anal 44.1, 349–366, 2006).

L'uso di una mesh completamente non strutturata è meno comune, ma può avere senso per problemi iperbolici in cui si dispone di un trasporto di informazioni lungo le caratteristiche. Se usi una formulazione di Galerkin discontinua, ogni elemento spazio-temporale si accoppia solo all'elemento vicino tramite termini facciali (non hai requisiti di continuità globale), e puoi usare un processo ampio per calcolare la soluzione passando da un elemento all'altro lungo le caratteristiche - una sorta di "obliquo" passo temporale. Naturalmente, questo è molto più difficile da implementare, anche se non richiede la memorizzazione dell'intera mesh spazio-temporale (che può essere proibitiva). D'altra parte, si ottiene il vantaggio di maglie non strutturate di consentire un raffinamento locale (adattivo) e quindi un adattamento temporale localmente adattativo.Metodi agli elementi finiti spazio-tempo per l'elastodinamica: formulazioni e stime degli errori , Metodi informatici in meccanica applicata e ingegneria 66 (3): 339-363, 1988 . C'è anche una tesi di dottorato di Shripat Thite su Spacetime Meshing per i metodi discontinui di Galerkin .

Un altro contesto in cui ho visto questa idea è l'ottimizzazione limitata dalla PDE per problemi parabolici. Lì puoi formulare le condizioni di ottimalità necessarie del primo ordine come un sistema accoppiato di equazioni avanti-indietro, che puoi interpretare come la formulazione mista di un'equazione ellittica del 2 ° ordine nel tempo, del 4 ° ordine nello spazio con iniziale-finale (e confine) condizioni. Effettuando una discretizzazione adattativa spazio-temporale di questo sistema accoppiato, è possibile avere un approccio one-shot efficiente per calcolare la soluzione, vedi Gong, Hinze, Zhou: approssimazione di elementi finiti spazio-tempo di problemi parabolici di controllo ottimale , J Numer. Matematica. 20 (2): 111-145 (2012) .

Ci sono articoli più recenti sui metodi spazio-temporali. Ce n'è uno di Steinbach, Space-Time Finite Element e un altro di Langer et. al, Analisi isogeometrica spazio-temporale che affronta tutti i problemi di evoluzione parabolica. In entrambi gli articoli descrivono in modo vivido le formulazioni variazionali ma in contesti diversi. Come suggeriscono i titoli, il primo utilizza FEM e il secondo IgA. Penso che ciò fornisca buone informazioni in particolare su ciò che cerchi.

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L'implementazione Space-Time del prodotto tensore è molto diversa da quella basata su non tensore. Quest'ultimo è un po 'complicato soprattutto per la FEM.