Come campionare punti nello spazio iperbolico?

Lo spazio iperbolico nel modello del semispazio superiore di Poincaré sembra un normale $\Bbb R^n$ ma con la nozione di angolo e distanza distorta in modo relativamente semplice. Nello spazio euclideo posso campionare un punto casuale uniformemente in una palla in diversi modi, ad esempio generando $n$ campioni gaussiani indipendenti per ottenere una direzione e campionando separatamente una coordinata radiale $r$ campionando uniformemente $s$ da $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$ , dove $R$ è il raggio e impostazione $r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ . Nel mezzo piano iperbolico una sfera sembra essere ancora una sfera, solo il suo centro non sarà il centro nella metrica euclidea, quindi potremmo fare lo stesso.

Se vogliamo campionare secondo una distribuzione non uniforme, ma ancora in modo isotropo, ad esempio una distribuzione gaussiana, questo non sembra così facile. Nello spazio euclideo potremmo semplicemente generare un campione gaussiano per ciascuna coordinata (questo funziona solo per la distribuzione gaussiana) o generare in modo equivalente un campione gaussiano multidimensionale. C'è un modo diretto per convertire questo campione in un campione nello spazio iperbolico?

Un approccio alternativo potrebbe essere quello di generare prima una direzione distribuita uniformemente (ad esempio da $n$ campioni gaussiani), quindi un campione gaussiano per il componente radiale e infine generare l'immagine sotto la mappa esponenziale nella direzione specificata per la lunghezza specificata. Una variante sarebbe quella di prendere il campione gaussiano euclideo e mapparlo sotto la mappa esponenziale.

Le mie domande:

quale sarebbe un modo buono ed efficace per ottenere un campione gaussiano con una media e deviazione standard data nello spazio iperbolico?
i modi che descrivo sopra forniscono il campionamento desiderato?
qualcuno ha già elaborato la formula?
come si generalizza ad altre metriche e altre distribuzioni di probabilità?

Grazie in anticipo.

MODIFICARE

Mi sono appena reso conto che anche nel caso del campionamento uniforme queste domande rimangono; anche se una sfera è una sfera, una distribuzione uniforme non sarebbe descritta da una funzione costante su una palla.

— doetoe
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@yes grazie per il tuo commento. Su ogni spazio topologico hai l'algebra di Borel sigma, generata dalla topologia. Una metrica riemanniana ti dà l'idea di un volume. Se il volume totale è finito, questo può essere normalizzato per dare una distribuzione di probabilità, o più in generale ti dà in modo diretto distribuzioni di probabilità uniformi su insiemi misurabili di volume finito. Dato che hai una struttura geometrica, compresa la nozione di geodetica e lunghezze d'arco, potresti anche definire le distribuzioni gaussiane per una densità di probabilità che decade per distanza allo stesso modo dello spazio euclideo

— doetoe

@yes Potrebbe essere più facile campionare attorno al centro della palla nel modello di palla e poi trasportarlo attraverso un'isometria, almeno rotazioni euclidee e iperboliche attorno al centro coincidono. Se questo è effettivamente il più efficiente, la domanda si ridurrebbe a come campionare attorno al centro nel modello del disco in base alla distribuzione normale per la metrica iperbolica.

— doetoe

Dovresti essere in grado di adattare il collettore riemanniano MCMC di Mark Girolami per generare campioni qui. Ma potrebbe essere eccessivo. Fai MCMC, ma generi proposte sparando geodetiche dal punto corrente.

— Nick Alger,

@NickAlger sembra interessante, hai un link?

— doetoe

Ecco il suo documento principale a riguardo. Trasformano il problema del campionamento di una distribuzione non uniforme su uno spazio piatto in un problema del campionamento di una distribuzione uniforme su una varietà, mentre si inizia con una distribuzione uniforme sulla varietà. rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/…

— Nick Alger

Sono nel mezzo di fare questo per me stesso. Penso che l'analogo più appropriato al gaussiano sarebbe il nocciolo di calore nello spazio iperbolico. Fortunatamente, questo è stato scoperto prima: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (disponibile anche in un Bollettino della London Mathematical Society ).

$e^{-dist^2/constant}$

{(\frac{2}{1 - | | x | |^{2}})}^{n} d x_{1} \dots d x_{n}

$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$

Ecco un campione uniforme per la sfera di raggio 3 centrata sull'origine:

Se lo desidero, sarei felice di aggiungere altro. Ho solo pensato di metterlo su, dato che c'era chiaramente un certo interesse in questo, almeno in passato.

— Edward Chien
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Grazie! Non ho ancora avuto il tempo di studiare l'articolo che mi è piaciuto, ma sembra interessante e pertinente

— doetoe

σ / 2

$\sigma / 2$

La costante pi è solo una costante nello spazio euclideo. Il valore di pi è diverso in altre geometrie. Il parametro pi cambia la massa di probabilità sotto il gaussiano. Il parametro pi viene utilizzato per normalizzare le probabilità. Sto solo iniziando a studiare questo.

Ho concluso qualche tempo fa che lo spazio cambia da iperbolico a euclideo a sferico man mano che aumenta il numero di sigmi. Sono stato felice di incontrare una discussione sui cerchi in ogni spazio e pi in funzione degli spazi Lp tramite il parametro p.

— David W. Locke
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