Ordine delle operazioni, algoritmi numerici

L'ho letto

(1) Le operazioni mal condizionate devono essere eseguite prima di quelle ben condizionate.

Ad esempio, si dovrebbe calcolare come poiché la sottrazione è mal condizionata mentre la moltiplicazione no. $xz-yz$ $(x-y)z$

Tuttavia, un'analisi degli errori del primo ordine di entrambi gli algoritmi rivela che differiscono solo per un fattore tre (*), e non vedo perché si possa generalizzare questo all'istruzione (1), né intuire intuitivamente il significato di ordine delle operazioni. Pensi che l'affermazione sia (1) sia una regola accettata e hai altre spiegazioni per questo?

*: più specificamente, la prima versione ha un errore relativo limitato da

mentre l'errore relativo della seconda versione è limitato da

eps + 3 \frac{| x | + | y |}{| x | - | y |} eps

$\text{eps}+3\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps}$

3 eps + \frac{| x | + | y |}{| x | - | y |} eps

$3\text{eps}+\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps}$

dove è la precisione della macchina. $\text{eps}$

Questa analisi si basa sul presupposto che l' -esimo risultato intermedio sia moltiplicato per (a causa di errori di arrotondamento), dove sono variabili casuali delimitate da . "Primo ordine" significa che i termini di ordine superiore, come , vengono trascurati. $i$ $(1+\varepsilon_i)$ $\varepsilon_i$ $\text{eps}$ $\epsilon_i\epsilon_jx$

stability floating-point

— Bananach
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Dove l'hai letto?

— David Ketcheson,

nei miei appunti di lezione

— Bananach,

Indichiamo con (ero pigro cercando di ottenere la versione cerchiata dell'operatore di divisione) gli analoghi a virgola mobile di moltiplicazione esatta ( ), addizione ( ) e sottrazione ( $\otimes,\oplus,\ominus$ $\times$ $+$ ), rispettivamente. Supponiamo (IEEE-754) che per tutti $-$ dove

[x \oplus y] = (x + y) (1 + δ_{\oplus}), | δ_{\oplus} | \leq ϵ_{m a c h},

$[x\oplus y]=(x+ y)(1+\delta_\oplus),\quad |\delta_\oplus|\le\epsilon_\mathrm{mach},$

è la macchina epsilon che fornisce un limite superiore all'errore relativo dovuto all'arrotondamento. Useremo anche il seguente lemma (assumendo tutto

, e

non è troppo grande) che può essere facilmente dimostrato:

ϵ_{m a c h}

$\epsilon_\mathrm{mach}$

| δ_{i} | \leq ϵ_{m a c h}

$|\delta_i|\le\epsilon_\mathrm{mach}$

m

$m$

\prod_{i = 1}^{m} (1 + δ_{i}) = 1 + θ (m), | θ (m) | \leq \frac{m ϵ_{m a c h}}{1 - m ϵ_{m a c h}}

$\prod\limits_{i=1}^{m}(1+\delta_i)=1+\theta(m),\quad |\theta(m)|\le\frac{m\epsilon_\mathrm{mach}}{1-m\epsilon_\mathrm{mach}}$

$f$ $x,y,z$

f (x, y, z) = (x \times z) - (y \times z)

$f(x,y,z)=(x\times z)-(y\times z)$

e due versioni dell'implementazione della funzione in aritmetica in virgola mobile conforme IEEE come e $\tilde{f_1}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{x}=x(1+\delta_x),\tilde{y},\tilde{z}$

\tilde{f_{1}} (\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) = (\tilde{x} \otimes \tilde{z}) ⊖ (\tilde{y} \otimes \tilde{z}),

$\tilde{f_1}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\otimes\tilde{z})\ominus(\tilde{y}\otimes\tilde{z}),$

\tilde{f_{2}} (\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) = (\tilde{x} ⊖ \tilde{y}) \otimes \tilde{z} .

$\tilde{f_2}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\ominus\tilde{y})\otimes\tilde{z}.$

$\tilde{f_1}$

\begin{aligned} \tilde{f_{1}} & = (\underset{(\tilde{x} \otimes \tilde{z})}{\underset{⏟}{(x (1 + δ_{x}) \times z (1 + δ_{z})) (1 + δ_{\otimes_{x z}})}} - \underset{(\tilde{y} \otimes \tilde{z})}{\underset{⏟}{(y (1 + δ_{y}) \times z (1 + δ_{z})) (1 + δ_{\otimes_{y z}})}}) (1 + δ_{⊖}) \\ = x z (1 + δ_{x}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{\otimes_{x z}}) (1 + δ_{⊖}) - y z (1 + δ_{y}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{\otimes_{y z}}) (1 + δ_{⊖}) \\ = x z (1 + θ_{x z, 1}) - y z (1 + θ_{y z, 1}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \tilde{f_1}&=\Big(\underbrace{\big(x(1+\delta_x)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{xz}}\big)}_{(\tilde{x}\otimes\tilde{z})}-\underbrace{\big(y(1+\delta_y)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{yz}}\big)}_{(\tilde{y}\otimes\tilde{z})}\Big)\Big(1+\delta_{\ominus}\Big)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{xz}})(1+\delta_\ominus)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{yz}})(1+\delta_\ominus)\\ &=xz(1+\theta_{xz,1})-yz(1+\theta_{yz,1}). \end{aligned}$

| θ_{x z, 1} |, | θ_{y z, 1} | \leq \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}

$|\theta_{xz,1}|,|\theta_{yz,1}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

$\tilde{f_2}$

\begin{aligned} \tilde{f_{2}} & = (((x (1 + δ_{x}) - y (1 + δ_{y}) (1 + δ_{⊖_{x y}})) \times (z (1 + δ_{z}))) (1 + δ_{\otimes}) \\ = x z (1 + δ_{x}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{⊖_{x y}}) (1 + δ_{\otimes}) - y z (1 + δ_{y}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{⊖_{x y}}) (1 + δ_{\otimes}) \\ = x z (1 + θ_{x, 2}) - y z (1 + θ_{y, 2}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \tilde{f_2}&=\Bigg(\Big(\big( x(1+\delta_x)-y(1+\delta_y \big)\big(1+\delta_{\ominus_{xy}}\big)\Big)\times \Big(z(1+\delta_z)\Big)\Bigg)\Bigg(1+\delta_{\otimes}\Bigg)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)\\ &=xz(1+\theta_{x,2})-yz(1+\theta_{y,2}). \end{aligned}$

| θ_{x, 2} |, | θ_{y, 2} | \leq \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}

$|\theta_{x,2}|,|\theta_{y,2}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

$\tilde{f_1}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{f_1}$

$x$ $y$

\begin{aligned} \frac{| \tilde{f_{1}} - f |}{| f |} & = \frac{| x z + x z θ_{x z, 1} - y z - y z θ_{y z, 1} - (x z - y z) |}{| x z - y z |} = \frac{| x θ_{x z, 1} - y θ_{y z, 1} |}{| x - y |} \\ \leq \frac{| x | + | y |}{| x - y |} \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}, \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_1}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{xz,1}-yz-yz\theta_{yz,1}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{xz,1}-y\theta_{yz,1}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}, \end{aligned}$

\begin{aligned} \frac{| \tilde{f_{2}} - f |}{| f |} & = \frac{| x z + x z θ_{x, 2} - y z - y z θ_{y, 2} - (x z - y z) |}{| x z - y z |} = \frac{| x θ_{x, 2} - y θ_{y, 2} |}{| x - y |} \\ \leq \frac{| x | + | y |}{| x - y |} \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_2}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{x,2}-yz-yz\theta_{y,2}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{x,2}-y\theta_{y,2}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}. \end{aligned}$

Lievi differenze tra $\theta$ $x,y,z$ $(x-y)$ $x$ $y$

NB: tutte le discussioni precedenti non presuppongono overflow o underflow, ovvero $x,y,z,f(x,y,z)\in\mathbb F_0$ $\mathbb F_0$

— Anton Menshov
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