"Risolutore" iterativo per

Non riesco a immaginare di essere il primo a pensare al seguente problema, quindi sarò soddisfatto di un riferimento (ma una risposta completa e dettagliata è sempre apprezzata):

Supponi di avere un simmetrico positivo definito . è considerato molto grande, quindi è impossibile tenere in memoria. È possibile, tuttavia, valutare , per qualsiasi . Dati alcuni , ti piacerebbe trovare . $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $n$ $\Sigma$ $\Sigma x$ $x \in \mathbb{R}^{n}$ $x \in \mathbb{R}^{n}$ $x^t\Sigma^{-1}x$

La prima soluzione che viene in mente è trovare usando (diciamo) i gradienti coniugati. Tuttavia, questo sembra alquanto dispendioso: cerchi uno scalare e nel processo trovi un vettore gigantesco in . Sembra avere più senso escogitare un metodo per calcolare direttamente lo scalare (cioè senza passare attraverso ). Sto cercando questo tipo di metodo. $\Sigma^{-1}x$ $\mathbb{R}^{n}$ $\Sigma^{-1}x$

linear-algebra numerical-analysis iterative-method

— Yair Daon
fonte

La tua matrice deriva da

per una

rettangolare "corta e larga" ?

Σ = A^{T} A

$\Sigma = A^TA$

A

$A$

— GeoMatt22,

@ GeoMatt22 purtroppo no. Ma diciamo che lo fa - cosa suggeriresti in quel caso?

— Yair Daon,

Sì, stavo solo pensando se ci fosse una matrice più piccola con cui lavorare ... non sono sicuro che possa aiutare comunque. Hai provato a cercare "distanza mahalanobis libera da matrice" o simile? Mi dispiace non essere di più aiuto!

— GeoMatt22,

Grazie @ GeoMatt22, non sono riuscito a trovare nulla online.

— Yair Daon,

$y=\Sigma^{-1}x$

$\Sigma$ $\lambda_i,v_i$ $\Sigma=V^T L V$ $V$ $v_i$ $L$ $\Sigma^{-1}=V^T L^{-1} V$

x^{T} Σ^{- 1} x = x^{T} V^{T} L^{- 1} V x = \sum_{i} λ_{i}^{- 1} (v_{i}^{T} x)^{2} .

$x^T \Sigma^{-1} x = x^T V^T L^{-1} V x = \sum_i \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2.$

V

$V$

Σ

$\Sigma$

m

$m$

λ_{i}^{- 1}

$\lambda^{-1}_i$

i > m

$i>m$

x^{T} Σ^{- 1} x = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}^{- 1} (v_{i}^{T} x)^{2} \approx \sum_{i = 1}^{m} λ_{i}^{- 1} (v_{i}^{T} x)^{2} .

$x^T \Sigma^{-1} x = \sum_{i=1}^n \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2 \approx \sum_{i=1}^m \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2.$

m

$m$

n

$n$

$y=\Sigma^{-1}x$

— Wolfgang Bangerth
fonte

m

$m$

x^{T} Σ^{- 1} x

$x^T\Sigma^{-1}x$

Puoi suggerire un metodo allora?

— Yair Daon,

Ci sono molti risolutori di autovalori in abbondanza o sparsi. ARPACK e SLEPc basato su PETSc sono probabilmente i più utilizzati.

— Wolfgang Bangerth,

m

$m$

n \times n

$n \times n$