Autovalore più piccolo senza inverso

Supponiamo che $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ sia una matrice definita simmetrica e positiva. $A$ è abbastanza grande da essere costoso per risolvere direttamente $Ax=b$ .

Esiste un algoritmo iterativo per trovare l'autovalore più piccolo di $A$ che non comporta l'inversione di $A$ in ogni iterazione?

Cioè, dovrei usare un algoritmo iterativo come i gradienti coniugati per risolvere $Ax=b$ , quindi applicare ripetutamente $A^{-1}$ sembra un costoso "ciclo interno". Ho solo bisogno di un singolo autovettore.

Grazie!

— Giustino Salomone
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Hai provato a usare la decomposizione di Cholesky? Dovresti fattore

A

$A$ in

L L^{T}

$L L^T$ con

L

$L$ è una matrice triangolare. Una volta che hai la fattorizzazione (lo fai solo una volta) puoi usarla in ogni iterazione per risolvere il sistema molto velocemente con la sostituzione avanti e indietro.

— Juan M. Bello-Rivas,

A è una matrice sparsa?

— Tolga Birdal,

ha una struttura a blocchi, ma preferirei non scherzare se non devo - quindi stavo cercando "metodi senza matrice". L'algoritmo "LOBPCG" ha qualche promessa, credo! @Juan, la fattorizzazione di Cholesky è ancora piuttosto costosa.

A

$A$

— Justin Solomon il

Se stai usando matlab o ottava usa la eigsroutine-. È un metodo iterativo. Ci sono opzioni per specificare quale autovalore vuoi, ad esempio il più piccolo reale .

— sebastian_g,

Capisco e sto davvero usando gli eigs in matlab. Ma se si specifica opzioni come "SM" di GIE, quindi richiede l'inverso di

piuttosto che

. Consulta la tabella nella documentazione: mathworks.com/help/matlab/ref/eigs.html

A

$A$

A

$A$

— Justin Solomon,

Calcola l'autovalore di magnitudine maggiore di (con, diciamo, ). $\lambda_{max}$ $A$ eigs('lm')
Poi calcolare il più grande magnitudo (negativo) autovalore di (ancora una volta, attraverso una chiamata standard a ). $\hat{\lambda}_{max}$ $M = A - \lambda_{max}I$ eigs('lm')
Si osservi che . Il motivo per cui questo vale è spiegato qui . $\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$
Trova il tuo autovettore risolvendo . $v$ $(A - \lambda_{min} I) v = 0$

— GoHokies
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