Quali sono le differenze tra la stima dell'errore "a priori" e quella "posteriore" nell'analisi numerica?


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Ho imparato a conoscere il metodo degli elementi finiti (anche un po 'su altri metodi numerici) ma non so quali siano esattamente le definizioni di questi due errori e le differenze tra loro?


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Le stime a priori (dal latino "dal precedente") dipendono solo dalla soluzione esatta, ma non approssimativa calcolata, e quindi possono essere (in teoria se non in pratica) valutate prima di calcolare la soluzione. Al contrario, le stime a posteriori (dal latino "dal più tardi") dipendono dalla soluzione calcolata ma non dalla soluzione esatta, quindi richiedono il calcolo della soluzione ma possono effettivamente essere valutati nella pratica.
Christian Clason,

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@ChristianClason - fai di questo una risposta!
Wolfgang Bangerth,

Risposte:


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Le stime di errore di solito hanno la forma

uuhC(h),
dove u è la soluzione esatta a cui sei interessato, uh è una soluzione approssimativa calcolata, h è un parametro di approssimazione che puoi controllare e C(h) è una funzione di h (tra le altre cose). Nei metodi agli elementi finiti, u è la soluzione di un'equazione differenziale parziale e uh sarebbe la soluzione agli elementi finiti per una mesh con maglie di dimensione h, ma hai la stessa struttura in problemi inversi (con il parametro di regolarizzazione al posto di h ) o metodi iterativi per risolvere equazioni o problemi di ottimizzazione (con l'indice di iterazione k - o piuttosto 1 / k - al posto di h ) . Il punto di tale stima è di aiutare a rispondere alla domanda "Se voglio entrare, diciamo, 10 - 3 della soluzione esatta, quanto devo scegliere h ?"αhk1/kh103h

La differenza tra stime a priori e a posteriori è nella forma del lato destro :C(h)

  • In stime a priori , il lato destro dipende da (di solito esplicitamente) eu , ma non da u h . Ad esempio, una tipica stima a priori per l'approssimazione di elementi finiti dell'equazione di Poisson - Δ u = f avrebbe la forma u - u h L 2c h 2 | u | H 2 , con una costante chuuhΔu=f

    uuhL2ch2|u|H2,
    ca seconda della geometria del dominio e della mesh. In linea di principio, il lato destro può essere valutata prima di calcolare (da cui il nome), quindi devi essere in grado di scegliere h prima di risolvere qualsiasi cosa. In pratica, né c| u | H 2 è noto ( u è quello che stai cercando in primo luogo), ma a volte è possibile ottenere stime ordine-o-magnitudine per c con attenzione passando per le prove e per | u | utilizzando i dati fuhhc|u|H2uc|u|f(che è noto). L'uso principale è una stima qualitativa: ti dice che se vuoi ridurre l'errore di un fattore quattro, devi dimezzare .h
  • Nelle stime a posteriori , il lato destro dipende da e u h , ma non da u . Una semplice stima basata su residui per l'equazione di Poisson sarebbe u - u h L 2c h f + Δ u h H - 1 , che in teoria potrebbe essere valutata dopo aver calcolato u h . In pratica, l' H - 1huhu

    uuhL2chf+ΔuhH1,
    uhH1 norma è problematica da calcolare, quindi manipolerai ulteriormente il lato destro per ottenere un legato all'elemento dove la prima somma è sopra gli elementi K della triangolazione, h K è la dimensione di K , la seconda somma è sopra tutti i confini dell'elemento F e j ( u h ) indica il salto della derivata normale di u h attraverso F . Questo è ora completamente calcolabile dopo aver ottenuto u h , ad eccezione della costante c . Quindi, di nuovo l'uso è principalmente qualitativo: ti dice quali elementi danno un contributo di errore maggiore rispetto ad altri, quindi invece di ridurre h
    uuhL2c(KhK2f+ΔuhL2(K)+FhK3/2j(uh)L2(F)),
    KhKKFj(uh)uhFuhchuniformemente, basta selezionare alcuni elementi con grandi contributi di errore e renderli più piccoli suddividendoli. Questa è la base dei metodi adattativi agli elementi finiti .

Questa risposta è esattamente ciò di cui ho bisogno, grazie mille.
Anh-Thi DINH,
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