Quali sono le differenze tra la stima dell'errore "a priori" e quella "posteriore" nell'analisi numerica?

Ho imparato a conoscere il metodo degli elementi finiti (anche un po 'su altri metodi numerici) ma non so quali siano esattamente le definizioni di questi due errori e le differenze tra loro?

Le stime di errore di solito hanno la forma

$$\|u - u_h\| \leq C(h),$$ dove $u$ è la soluzione esatta a cui sei interessato, $u_h$ è una soluzione approssimativa calcolata, $h$ è un parametro di approssimazione che puoi controllare e $C(h)$ è una funzione di $h$ (tra le altre cose). Nei metodi agli elementi finiti, $u$ è la soluzione di un'equazione differenziale parziale e $u_h$ sarebbe la soluzione agli elementi finiti per una mesh con maglie di dimensione $h$, ma hai la stessa struttura in problemi inversi (con il parametro di regolarizzazione al posto di h ) o metodi iterativi per risolvere equazioni o problemi di ottimizzazione (con l'indice di iterazione k - o piuttosto 1 / k - al posto di h ) . Il punto di tale stima è di aiutare a rispondere alla domanda "Se voglio entrare, diciamo, 10 - 3 della soluzione esatta, quanto devo scegliere h ?"$\alpha$$h$$k$$1/k$$h$$10^{-3}$$h$

La differenza tra stime a priori e a posteriori è nella forma del lato destro :$C(h)$

• In stime a priori , il lato destro dipende da (di solito esplicitamente) eu , ma non da u h . Ad esempio, una tipica stima a priori per l'approssimazione di elementi finiti dell'equazione di Poisson - Δ u = f avrebbe la forma ‖ u - u h ‖ L 2 ≤ c h 2 | u | H 2 , con una costante $h$$u$$u_h$$-\Delta u = f$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$$ $c$a seconda della geometria del dominio e della mesh. In linea di principio, il lato destro può essere valutata prima di calcolare (da cui il nome), quindi devi essere in grado di scegliere h prima di risolvere qualsiasi cosa. In pratica, né c né | u | H 2 è noto ( u è quello che stai cercando in primo luogo), ma a volte è possibile ottenere stime ordine-o-magnitudine per c con attenzione passando per le prove e per | u | utilizzando i dati $u_h$$h$$c$$|u|_{H^2}$$u$$c$$|u|$$f$(che è noto). L'uso principale è una stima qualitativa: ti dice che se vuoi ridurre l'errore di un fattore quattro, devi dimezzare .$h$

• Nelle stime a posteriori , il lato destro dipende da e u h , ma non da u . Una semplice stima basata su residui per l'equazione di Poisson sarebbe ‖ u - u h ‖ L 2 ≤ c h ‖ f + Δ u h ‖ H - 1 , che in teoria potrebbe essere valutata dopo aver calcolato u h . In pratica, l' H - $h$$u_h$$u$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$$ $u_h$$H^{-1}$ norma è problematica da calcolare, quindi manipolerai ulteriormente il lato destro per ottenere un legato all'elemento dove la prima somma è sopra gli elementi K della triangolazione, h K è la dimensione di K , la seconda somma è sopra tutti i confini dell'elemento F e j ( ∇ u h ) indica il salto della derivata normale di u h attraverso F . Questo è ora completamente calcolabile dopo aver ottenuto u h , ad eccezione della costante c . Quindi, di nuovo l'uso è principalmente qualitativo: ti dice quali elementi danno un contributo di errore maggiore rispetto ad altri, quindi invece di ridurre $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$$ $K$$h_K$$K$$F$$j(\nabla u_h)$$u_h$$F$$u_h$$c$$h$uniformemente, basta selezionare alcuni elementi con grandi contributi di errore e renderli più piccoli suddividendoli. Questa è la base dei metodi adattativi agli elementi finiti .