Cosa ci dice l'analisi di stabilità di Von Neumann sulle equazioni alle differenze finite non lineari?

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Sto leggendo un documento [1] in cui risolvono la seguente equazione non lineare usando metodi a differenza finita. Analizzano anche la stabilità degli schemi usando l'analisi di stabilità di Von Neumann. Tuttavia, come gli autori realizzano, questo è applicabile solo ai PDE lineari. Così gli autori lavorano intorno a questo "congelamento" il termine non-lineare, cioè sostituire il termine con , dove è "considerato per rappresentare i valori localmente costanti di ".

u_{t} + u_{x} + u u_{x} - u_{x x t} = 0

$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$

u u_{x}

$uu_x$

U u_{x}

$Uu_x$

U

$U$

u

$u$

Quindi la mia domanda è duplice:

1: come interpretare questo metodo e perché (non) funziona?

2: potremmo anche sostituire il termine con il termine , dove è "considerato rappresentare valori locali costanti di "? $uu_x$ $uU_x$ $U_x$ $u_x$

Riferimenti

Eilbeck, JC e GR McGuire. "Studio numerico dell'equazione delle onde lunghe regolarizzata I: metodi numerici." Journal of Computational Physics 19.1 (1975): 43-57.

— Cacciatore
fonte

1

Hai sbagliato a scrivere l'equazione. L'equazione nel documento è l'equazione RLW.

— Ömer,

3

Domande correlate, senza risposte complete: scicomp.stackexchange.com/q/8717/713 , mathoverflow.net/q/186760 , scicomp.stackexchange.com/q/16142 , scicomp.stackexchange.com/q/6863 . Penso che, euristicamente parlando, dovrebbe funzionare perché sei interessato alla stabilità delle modalità ad altissima frequenza (in cui si verificano errori, lunghezza d'onda dell'ordine della spaziatura delle maglie), mentre la soluzione stessa varierebbe invece con una frequenza molto più bassa, quindi va bene congelare i coefficienti e studiare la stabilità dei coefficienti di congelamento PDE.

— Kirill

2

Ho dato le risposte ad alcune delle domande collegate da Kirill. Sfortunatamente, non sono a conoscenza di alcun risultato per l'equazione RLW, ma probabilmente la stabilità può essere dimostrata purché la soluzione sia abbastanza regolare.

— David Ketcheson,

1

Quello che stai dicendo è indicato come linearizzazione. È una tecnica comune utilizzata nell'analisi dei PDE non lineari. Ciò che viene fatto è lanciare equazioni nel formato,

$u_t+Au=0$

Qui A è una matrice risultante dalla linearizzazione dell'equazione.

Ora alle tue domande,

Come stai pensando, funziona in una certa misura, ma non in un'altra misura. L'utilità è che la stabilità può essere dimostrata per i sistemi lineari ma non prontamente per i sistemi non lineari. Quindi i risultati lineari vengono estesi ai sistemi non lineari. Spesso vengono adottati metodi diversi per casi particolari. Per esempio,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

quale è la forma di conservazione. Così,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

quando rappresentato in senso del volume finito dà dei limiti sull'evoluzione di u.

Qual è l'utilità di fare la sostituzione. Rimuoverai l'equazione da una forma di equazione d'onda. Ciò significherebbe che le soluzioni non si comporterebbero come un'equazione d'onda. Quindi nell'analisi di stabilità, le soluzioni di test dovrebbero essere completamente diverse e anche non fisiche.

— Vikram
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2

Per approfondire l'argomento della linearizzazione, in uu_x vuoi supporre che tu sia localmente costante, non u_x, per due ragioni: a) u varia più lentamente della sua derivata eb) in questo caso particolare, se supponi che u_x sia localmente costante , per definizione supponi anche che tu sia localmente lineare, il che significa che i derivati dello spazio più elevati sono zero e questo non solo introduce un ulteriore errore di approssimazione, ma può implicare che potresti buttare il bambino con l'acqua del bagno, a seconda della tua equazione.

— Domingo Tavella
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