Come posso derivare un legame con le oscillazioni spurie nella soluzione numerica dell'equazione di avanzamento 1D?

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Supponiamo di avere il seguente problema periodico di consulenza 1D:

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ in dove ha una discontinuità di salto a . $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
$g(x)$ $x^*\in (0,1)$

Comprendo che per schemi di differenza finiti lineari di ordine superiore al primo, si verificano oscillazioni spurie vicino alla discontinuità nel corso del tempo, provocando una distorsione della soluzione dalla sua forma d'onda attesa. Secondo la spiegazione di Wikipedia , sembra che queste oscillazioni si verifichino in genere quando una funzione discontinua viene approssimata con una serie di Fourier finita.

Per qualche ragione, non riesco a capire come si possa osservare una serie di Fourier finita nella soluzione di questo PDE. In particolare, come posso stimare analiticamente un limite dello "scatto eccessivo"?

pde finite-difference advection

— Paolo
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Il metodo di controvento del primo ordine è monotono; non introduce oscillazioni spurie. Ma è solo accurato al primo ordine, risultando in una così ampia diffusione numerica da essere inutilizzabile per molti scopi. Il teorema di Godunov afferma che le discretizzazioni spaziali lineari di livello superiore al primo ordine non possono essere monotone. Per controllare rigorosamente le oscillazioni, utilizziamo schemi di variazione totale della variazione (TVD) . I metodi TVD sono in genere limitati alla precisione del secondo ordine. Per un ordine superiore, dobbiamo o rilassare la nostra richiesta, portando a metodi Total Variation Bounded (TVB) come (Weighted) Essential Non Oscillatory ((W) ENO), oppure dobbiamo rilassare la definizione di TVD al "massimo principio di conservazione" o simile, dove gli estremi iniziali sono in termini di una soluzione ricostruita iniziale, risultante inschemi speciali di limitazione .

— Jed Brown
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Mi scuso ... per qualche motivo, ho avuto l'impressione che ciò fosse vero anche per lo schema del primo ordine. Ho modificato la domanda per riflettere questo commento.

— Paolo

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La discretizzazione della differenza finita lineare di un problema 1D con limiti periodici porta a una discretizzazione della forma

U^{n + 1} = L U^{n}

$U^{n+1} = LU^n$

dove è una matrice circolante . Gli autovettori di qualsiasi matrice circolante sono discreti modi di Fourier (qui è la spaziatura della griglia e è il numero d'onda, che varia da zero al numero d'onda più alto rappresentabile sulla griglia). Questi autovettori formano una base per tutte le funzioni che possono essere rappresentate sulla griglia. Se esprimi la soluzione in termini di queste modalità discrete di Fourier, il metodo numerico viene diagonalizzato, ovvero ogni componente di Fourier viene moltiplicato per un fattore scalare (generalmente complesso) ad ogni passo. Il fattore scalare viene spesso definito fattore di amplificazione e ciò che ho appena descritto è noto come analisi di von Neumann $L$

v_{j} = \exp (i j h ξ)

$v_j = \exp(ijh\xi)$

h

$h$

ξ

$\xi$ . È analogo all'analisi di Fourier di PDE lineari, in cui si utilizza una base di Fourier, per "diagonalizzare" gli operatori differenziali lineari.

Puoi trovare belle spiegazioni, ad esempio, nel testo di Strikwerda o LeVeque .

— David Ketcheson
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Conosco l'analisi di von Neumann. Ma posso davvero usare questa analisi per ricavare un limite dalle oscillazioni spurie?

— Paolo

Stavo rispondendo principalmente alla tua affermazione. Non riesco a capire come una serie di Fourier finita possa essere osservata nella soluzione di questo PDE. Ma sì, puoi ottenere tali limiti da questa analisi. Ad esempio, è possibile esaminare il caso peggiore in cui tutte le modalità interferiscono in modo costruttivo. Tuttavia, è probabile che questo sia un limite molto pessimistico. In pratica, non ho visto nessuno derivare limiti diversi da TVD o TVB (che sono abbastanza forti e non valgono per schemi lineari).

— David Ketcheson,

Probabilmente potresti ottenere un limite più interessante osservando la relazione di dispersione per le modalità del numero d'onda più alto. Ma non l'ho mai visto fatto.

— David Ketcheson,

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Non tutte le oscillazioni spurie sono fenomeni di Gibbs. Sembrano simili, ma ci sono oscillazioni di Gibbs per tutte le approssimazioni di Fourier finite di funzioni discontinue (diventano solo più piccole quando si aggiungono più termini). Considerando che, ci sono rappresentazioni non oscillatorie di funzioni discontinue risultanti dalla soluzione di approssimazioni alle differenze finite ai PDE che non richiedono serie infinite.

$\inf$ $\sup$

— Bill Barth
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Questo è un documento utile, ma nota che la stabilità inf-sup non fornisce un forte controllo delle oscillazioni. Ad esempio, nessuna stabilità inf-sup può fornire un metodo TVD. E alla luce del Teorema di Godunov, non ha senso andare alla ricerca di discretizzazioni spaziali lineari se intendiamo avere soluzioni non oscillanti di più del primo ordine. Si noti che il numero Peclet appare in tutti i metodi in questo documento e che i metodi degradano alla precisione del primo ordine da , pur non essendo TVD.

P e \to \infty

$\mathrm{Pe}\to \infty$

— Jed Brown,

Queste sono tutte affermazioni vere. Si applica davvero solo ai problemi di diffusione per convezione.

— Bill Barth,

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Per quanto riguarda l'ultima domanda sulla connessione tra la serie di Fourier finita e l'approssimazione di elementi finiti: in generale, se si tenta di proiettare una funzione con un salto su uno spazio dimensionale finito le cui funzioni di base sono continue, si ottiene il fenomeno di Gibbs. Questo è vero se la base è una serie di Fourier finita (dove le funzioni di base sono i seni e i coseni) o se la base sono le solite funzioni di cappello agli elementi finiti - è una proprietà della proiezione più l'inadeguatezza delle funzioni di base.

— Wolfgang Bangerth
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Sono felice di essere smentito, dal momento che sono chiaramente fuori allenamento, ma non sto comprando il tuo commento sulle proiezioni sulle funzioni del cappello senza ulteriori qualifiche. Il mio rapido calcolo usando il mio vecchio codice MATLAB 1-D della mia classe FEM del primo anno mostra che la proiezione della funzione step su usando le funzioni hat non è oscillatoria. Hai un esempio che può mostrare ciò che mi manca?

H_{0}^{1}

$H_0^1$

— Bill Barth,

Non importa. Il vecchio codice è vecchio. Posso riprodurre le oscillazioni. Commento precedente ritirato.

— Bill Barth,

Sono felice di poterti aiutare :-)

— Wolfgang Bangerth,

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Un approccio è tramite l'equazione equivalente, ovvero l'equazione differenziale a cui il tuo metodo discreto fornisce l'approssimazione più vicina. Questa non è mai l'equazione differenziale che intendevi risolvere. Quindi guardi la soluzione asintotica dell'equazione equivalente, per una funzione di passaggio come dati iniziali. Guarda Bouche, D., Bonnaud, G. e Ramos, D., 2003. Confronto di schemi numerici per risolvere l'equazione di avanzamento. Lettere matematiche applicate, 16 (2), pagg. 147-154.

— Philip Roe
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