Risolvere un sistema con un aggiornamento diagonale di piccolo rango

Supponiamo che io abbia il sistema lineare ampio e originale: . Ora, non ho poiché A è troppo grande per essere considerato o qualsiasi tipo di decomposizione di A , ma suppongo che la soluzione \ textbf {x} _0 sia stata trovata con una soluzione iterativa.A - 1 A x$A\textbf{x}_0=\textbf{b}_0$$A^{-1}$$A$$\textbf{x}_0$

Ora, desidero applicare un aggiornamento di piccolo rango alla diagonale di A (modifica alcune voci diagonali): $(A+D)\textbf{x}_1=\textbf{b}_0$ dove $D$ è una matrice diagonale con principalmente 0 sulla sua diagonale e alcuni valori diversi da zero. Se avessi $A^{-1}$ sarei in grado di sfruttare la formula di Woodbury per applicare un aggiornamento all'inverso. Tuttavia, non ho questo disponibile. C'è qualcosa che posso fare a parte risolvere nuovamente l'intero sistema? Esiste forse un modo per escogitare un precondizionatore $M$ che è facile \ più facile da invertire, ad esempio $MA_1 \approx A_0$ , in modo che tutto ciò che dovrei fare se avessi $\textbf{x}_0$ è applicare $M^{-1}$ e un metodo iterativo converrebbe in un paio / poche iterazioni?

1. Salvare nelle colonne di due matrici e tutti i vettori a cui è stata applicata la matrice nelle iterazioni precedenti e i risultati .C b j c j = A b $B$$C$$b_j$$c_j=Ab_j$

2. Per ogni nuovo sistema (o , che è il caso speciale ), risolvere approssimativamente il sistema lineare sovradeterminato , ad es. selezionando un sottoinsieme delle righe (possibilmente tutte) e usando un metodo meno quadrato denso. Si noti che solo la parte selezionata di deve essere assemblata; quindi questa è un'operazione veloce! A x = b ′ D = 0 ( C + D B $(A+D)x'=b'$$Ax=b'$$D=0$ C + D $(C+DB)y\approx b'$$C+DB$

3. Put . Questa è una buona approssimazione iniziale con cui iniziare l'iterazione per la risoluzione . Nel caso in cui siano necessari ulteriori sistemi, utilizzare i prodotti vettoriali a matrice in questa nuova iterazione per estendere le matrici e sul sottosistema risultante.( A + D ) x $x_0=By$ B $(A+D)x'=b'$$B$$C$

Se le matrici e non si adattano alla memoria principale, archiviare su disco e selezionare in anticipo il sottoinsieme di righe. Ciò consente di mantenere nel nucleo la parte rilevante di e necessaria per formare il sistema dei minimi quadrati e il successivo può essere calcolato con un passaggio attraverso con un uso ridotto della memoria principale.C B $B$$C$$B$$B$x 0$C$$x_0$$B$

Le righe dovrebbero essere selezionate in modo tale da corrispondere approssimativamente a una discreta discretizzazione dell'intero problema. Dovrebbero essere sufficienti cinque volte più righe del numero totale dei moltiplicatori di matrice previsti.

Modifica: perché funziona? Per costruzione, le matrici e sono correlate da . Se il sottospazio attraversato dalle colonne di contiene il vettore esatto della soluzione (una situazione rara ma semplice) allora ha la forma per qualche . Sostituendo questo nell'equazione che definisce ottiene l'equazione . Pertanto, in questo caso, il processo sopra riportato fornisce come punto di partenza , che è la soluzione esatta.$B$$C$$C=AB$$B$$x'$$x'$$x'=By$$y$$x'$$(C+DB)y= b'$$x_0=By=x'$

In generale, non ci si può aspettare che si trovi nello spazio colonna di , ma il punto di partenza generato sarà il punto in questo spazio cloumn più vicino a , in una metrica determinata dalle righe selezionate. Quindi è probabile che sia un'approssimazione ragionevole. Man mano che vengono elaborati più sistemi, lo spazio della colonna aumenta e l'approssimazione probabilmente migliorerà molto, in modo che si possa sperare di convergere in sempre meno iterazioni.$x'$$B$$x'$

Modifica2: Informazioni sul sottospazio generato: Se uno risolve ciascun sistema con un metodo Krylov, i vettori utilizzati per ottenere il punto di partenza per il secondo sistema si estendono sul sottospazio Krylov del primo lato destro. Quindi si ottiene una buona approssimazione ogni volta che questo sottospazio di Krylov contiene un vettore vicino alla soluzione del secondo sistema. In generale, i vettori utilizzati per ottenere il punto di partenza per il sistema estendono su uno spazio contenente il sottospazio di Krylov dei primi lati di destra.$(k+1)$$k$